1力学量的平均值随时间的变化

1.力学量的平均值随时间的变化tAHAtAt],[i1)(dd0],[HA0)(ddtAt2.守恒量若则A称为守恒量3.守恒量的性质如果力学量A不含时间，若[A,H]=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。0)(dd2tatk第4章力学量随时间的演化与对称性0)(ddtAt4.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.守恒量对应的量子数称为好量子数(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。6.能级简并与守恒量的关系定理设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,则体系能级一般是简并的。推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE，则ΨE必为F的本征态。)(2/2rVmpHVrmprVprpprmHprprt22i)](,[],[21],[ddiVrpm21VrT27.位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的平均值随时间的变化为对定态有0ddprt则（定态下力学量的平均值不随时间变化）思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化)(21rpprpr这是否会影响位力定理得证明。答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到定理的证明。例题1设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即),,(),,(zyxVcczcycxVn证明VnT28.Feynman-Hellmann定理设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为nnE,若H中含有参数λ，则有nnnHE9.全同粒子体系与波函数的交换对称性,反对称波函数，对称波函数ijijPP(1)两个全同粒子组成的体系)]()()()([21),(122121212121qqqqqqkkkkAkk)]()()()([21),(122121212121qqqqqqkkkkSkk)()()()()()()()()(!31),,(321321321321333222111321qqqqqqqqqqqqkkkkkkkkkAkkk(2)N个全同Femi子组成的体系三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个不同的单粒子态φk1,φk2,φk3上，则反对称波函数为)()()()()()()()()(!1),,(21212112221111NkkkNkkkNkkkNAkkqqqqqqqqqNqqNNNNSlater行列式N个全同Bose子组成的体系PNkkiiNSnnqqPNnqqNN)]()([!!),,(1111φφψ其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，这样的置换数为iinN!!§4.3Schrödinger图像和Heisenberg图像)1())(),(()(tAttAψψ)2()()(itHttψψ)3(],[i1)(ddHAtAt)5(1)0,0()4(),0()0,()(UtUtψψ1.Schrödinger图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值波函数随时间演化方程---Schrödinger方程力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成)0()0,()0()0,(iψψtHUtUt)6()0,()0,(itHUtUt)0,(tU)7()0,(/iHtetU称为时间演化算符。(4)代入(2)得到则积分得)8(1)0,()0,()0,()0,(tUtUtUtU可以证明：)0,(tU是幺正算符。)9())0(),0(())(),((ψψψψtt)10())0()(),0(())0()0,()0,(),0(())0()0,(),0()0,(()(ψψψψψψtAtAUtUtAUtUtA)11()0,()0,()(tAUtUtA2.Heishenberg图像波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程----Heisenberg方程)(i1)0,(dd)0,()0,()0,(dd)(ddAHUUHAUUtUtAtUtAUtUttAt利用U的幺正性，及U+HU=H))()((i1)(i1)(ddHtAtHAHUAHUUUHUUUtAt则)12(]),([i1)(ddHtAtAt上式称为Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H))()((i1)(i1)(ddHtAtHAHUAHUUUHUUUtAt则)12(]),([i1)(ddHtAtAt上式称为Heisenberg方程。例题1自由粒子mpH2/20],[Hpp为守恒量，则p(t)=p(0)=pmpempeempreHtrtrttHtHtHtHˆˆ]2/ˆ,ˆ[i1]ˆ),(ˆ[i1)(ˆdd/ˆi/ˆi/ˆi2/ˆitmprtrˆ)0(ˆ)(ˆ则例题2一维谐振子222212/xmmpHω/i/i/i/i)(,)(HtHtHtHtpeetpxeetx)(],[i1)(dd/)(],[i1)(dd2/i/i/i/itxmeHpetptmtpeHxetxtHtHtHtHtω)()(dd1)(dd222txtptmtxtωtctctxωωsincos)(21tcmtcmtxtmtpωωωωsincos)(dd)(21而则其解为则根据初始条件mpcpcmpxcx/,)0()0(221则tmptxtxsincos)(txmtptpsincos)(例题3求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值解：一维谐振子的能量本征值为ω21nEn由位力定理知:VT则ω21nVTHEn所以ω2121nVT例题4判断下列说法的正误(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有1221ψψψψ则2211//ψψψψ两边同时积分得21ψψC例题5N=3Bose子体系，设三个单粒子态分别是321,,φφφ解：(a)n1=n2=n3=1（只有1个）)]()()()()()()()()()()()()()()()()()([!31),,(331221132231233211231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS(b)n1=2,n2=1,n3=0（共有6个）)]()()()()()()()()([31),,(122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3个）)()()(),,(312111321300qqqqqqSφφφψ)()()(),,(322212321030qqqqqqSφφφψ)()()(),,(332313321003qqqqqqSφφφψ例题6(4.2)解：(a)两全同波色子单粒子态3φ1φ2φ200020002011101110分布)()(2111qqφφ)()(2212qqφφ)()(2313qqφφ)]()()()([2113222312qqqqφφφφ)]()()()([2113212311qqqqφφφφ)]()()()([2112212211qqqqφφφφ(b)两个全同费米子单粒子态3φ1φ2φ011101110分布)]()()()([2113222312qqqqφφφφ)]()()()([2113212311qqqqφφφφ)]()()()([2112212211qqqqφφφφ（c)两个不同粒子单粒子态3φ1φ2φ200020002011101110分布)()(2111qqφφ)()(2212qqφφ)()(2313qqφφ)()(),()(13222312qqqqφφφφ)()(),()(13212311qqqqφφφφ)()(),()(12212211qqqqφφφφ例题7（4.3）解：321φφφ设粒子的总数为n，量子态的总数为k.首先对n个粒子进行编号(1)粒子可以分辨每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有nk若k=3,n=2,则有932若k=3,n=3,则有2733(2)粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称12346)!13(!2)!123(量子态总数若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有10)!13(!3)!133((3)粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（kn）)!(!!nknkCnk若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有3)!23(!2!323C量子态总数1)!33(!3!333C例题8.三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态是ψ1,ψ2,试求出体系的归一化波函数。解：)()()(),,(3121113211qqqqqq)]()()()()()()()()([31),,(2211311231213221113212qqqqqqqqqqqq)]()()()()()()()()([31),,(2212311232213222113213qqqqqqqqqqqq)()()(),,(3222123214qqqqqq例题9现有3个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上，则该体系可能的状态数目有几种？答：由统计物理学的知识知：lalllMBlaNω!lllllBEaa)!1(!)!1(ωωlllllFDaa)!(!!ωω3个粒子4个量子态6443lalMBω20143134)!!()!(BE43434)!!(!FD例题10两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值:(1)两个自旋为1/2的可区分粒子(2)两个自旋为1/2的全同粒子解：(1)对两个自旋为1/2的可区分粒子，波函数不必对称化。其基态总能量为2E1,波函数为)1,0()()()()(12111002111smmxxxxs四重简并第一激发态总能量是E1+E2,波函数是)1,0()()()()(12211002211smmxxxxs)1,0()()()()(12112002112smmxxxxs八重简并(2)对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的其基态总能量为2E1，波函数为002111)()(xx非简并第一激发态总能量是E1+E2，波函数是