概率论与数理统计总复习(公式)

1.事件的关系和运算总复习公式第一章ABBABA包含于且包含于：相等关系同时发生：积事件BABA,中至少有一个发生和：和事件BABA发生发生必然导致：包含关系BABAAAAA记为的对立事件为：对立事件,ΩAAΦAABAABBABA:对偶律BBAAABBA则吸收律,:不发生发生但：或差事件BABABAΦBABA,互斥时与当替换律)()(ABBBAAABBA)()(BABABABABABBAABABA)(BABA2.古典概率样本空间的样本点总数的样本点数事件AAP)(具有(1)等可能性;(2)样本空间有限性的概率试验对任意的事件A3.逆事件的概率).(1)(APAP4.加法公式若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则niiniiAPAP11)()()()()()(ABPBPAPBAP)(ABBABA5.加法定理ABBABBA又互斥与且,)()()()(BPAPBAPBA互斥，则与若)()(1)(1)(BPAPBAPBAP特别地A,B互相独立6.减法公式若A，B是两个概率不为零的互斥的事件，则P(A-B)=P(A)若A，B为两个任意的事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)BA若)()()(BPAPBAP7.条件概率公式设A、B是两个事件，且,0)(AP则称)()(APABPABP）（8.乘法公式)|()()|()()(BAPBPABPAPABP特别地0)(,ABPBA互斥)()()(BPAPABP独立事件10.逆概率公式)()|()()|(BPABPAPBAPiii11.独立试验模型knkknkPpCP)1(9.全概公式A1,A2,…,An是互斥完备事件组，B为任一事件，则)|()()(1iniiABPAPBP信息管理学院徐晔9例1已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求(1));(ABP(2));(BAP(3));(BAP解(1)因为,BBAAB且AB与BA是不相容的,故有)()()(BPBAPABP于是)(ABP(2))(AP)(BAP2.04.0)()(BAPBP;2.0)(1AP5.01,5.0)()(ABPAP2.05.0;3.0(4)).(BAP信息管理学院徐晔10例1已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求(3));(BAP(4)).(BAP解(3))(BAP(4))(BAP7.01)()()(ABPBPAP2.04.05.0;7.0)(BAP)(1BAP.3.0信息管理学院徐晔11;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例2,“取到的是一只次品”表示设B)(BP求家工厂提供的”“所取到的产品是由第表示设iiAi)3,2,1(，的一个分割是样本空间则321,,AAA,05.0)(,80.0)(,15.0)(321APAPAP且.03.0)(,01.0)(,02.0)(321ABPABPABP)()()()(321321BABABAPBAAAPBPBP由全概率公式：03.005.001.080.002.015.0）332211()()()()()(ABPAPABPAPABPAP.0125.0信息管理学院徐晔12..,,,)2(试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只(2)由逆概率公式得)()()()(111BPABPAPBAP0125.002.015.0.24.0,64.0)(2BAP.12.0)(3BAP.2家工厂的可能性最大故这只次品来自第同理可得.0125.0)(,02.0)(,15.0)(11BPABPAP信息管理学院徐晔13例3对目标进行三次独立炮击,第一次命中率为0.4,第二次命中率为0.5,第三次命中率为0.7.目标中一弹而击毁的概率为0.2,中两弹被击毁的概率为0.6,中三弹被击毁的概率为0.8.求(1)炮击三次击毁目标的概率;(2)己知目标被击毁,目标中二弹的概率是多少？第二章1.随机变量及其概率分布(分布函数、分布律、密度函数)15信息管理学院徐晔都有、、、Rxxx21}{xXP}{xXP}{xXP}{xXP2.用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式}{21xXxP}{21xXxP}{21xXxP}{21xXxP)0()(lim0xFxxFx)0()(}{}{xFxFxXPxXP)(1}{1xFxXP)0(1}{1xFxXP)()(12xFxF)0()(12xFxF)()0(12xFxF)0()0(12xFxF16信息管理学院徐晔3.分布函数的性质,,上是一个不减函数在xF(1);,,,212121xFxFxxxx都有且即对21FxFx(3)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx(2)()FlimxFxlimxFx()F01）（xxXPxF),()()(21xXxP017信息管理学院徐晔如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.18信息管理学院徐晔3031)(3xxxAxFX的分布函数为设随机变量}52{)2(;)1(XPA概率系数求：例4解(1)因为分布函数右连续,且0)3(,)1(lim)(lim333FxAxFxx27A所以}2{}5{}52{)2(XPXPXP)2()(lim5FxFx12598052713信息管理学院徐晔4.正态分布20信息管理学院徐晔).,(~,,,)0(,,,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义正态分布的密度函数及其特点21信息管理学院徐晔).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt22信息管理学院徐晔)()(,,)(.1xxyx轴对称曲线关于是偶函数标准正态分布具有如下特点}0{)0(.2XP5.0)(1)(.3xx1)(2}|{|.4xxXP))(1(2}|{|.5xxXP23信息管理学院徐晔一般正态分布与标准正态分布的关系)1,0(~,),(~2NXNXxxFNX)(),(~2abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(24信息管理学院徐晔例5求以下概率已知),1,0(~NX}68.0{)1(XP}74.1{)2(XP}24.1{)3(XP)68.0(=0.7517)74.1(1=1-0.9591=0.0409)24.1(}24.1{XP=0.89251)96.1(2}96.1|{|)4(XP}74.168.0{)5(XP}84.1|{|)6(XP=2*0.975-1=0.95)68.0()74.1())68.0(1()74.1(=0.9591-1+0.7517=0.7108))84.1(1(2=2*(1-0.9671)=0.0658第三章信息管理学院徐晔3.2二维离散型和连续型随机向量一、二维离散型随机向量二、二维连续型随机向量信息管理学院徐晔27定义若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.设X的所有可能取值为,,,,21kxxxXY的所有可能取值为,,,,21kyyyY则称,2,1,,},{jipyYxXPijji为二维随机向量(X,Y)的联合概率函数或联合概率分布一、二维离散型随机向量信息管理学院徐晔28ixxxX21jyyyY21jppp11211jppp22221ijiippp21联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质:,3,2,1,,0)1(jipij1)2(ijijp二维离散型随机向量的联合分布函数为xxyyijijpyYxXPyxF},{),(信息管理学院徐晔29例6一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球第一次取出黑球第一次取出白球01X第二次取出黑球第二次取出白球01Y的联合概率分布为则),(YX10X10Y5353525353525252若进行不放回取球10X10Y4253425343524152信息管理学院徐晔30例7一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取求两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为321X321Y414142414141414242424142414142414141思考将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?信息管理学院徐晔31二维离散型随机向量的边缘分布.),(),2,1(),2,1(,,2,1},{,,2,1},{.,2,1,,},{),(11的边缘分布律和关于关于为和分别称记律为的联合分布设二维离散型随机变量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji定义信息管理学院徐晔32;,2,1,}{1jpyYPiijj.,2,1,}{1ipxXPjijiXYjyyy21ixxx21jppp11211jppp22221ijiippp21信息管理学院徐晔3310X10Y5353535252535252例8在本节例1.中的边缘概率函数为和分别关于YXYX),(53535252.iPjP.10X10Y4253435242534152若进行不放回取球若进行放回取球53535252信息管理学院徐晔3.3随机变量的独立性信息管理学院徐晔35在多维随机向量中，各分量之间有的相互影响，有的毫无关系。譬如在研究父子身高时，父亲的身高Y往往会影响儿子的身高X.假如让父子各掷一个骰子，出现的点数Y1与X1之间就看不出任何关系.这种相互之间没有任何影响的随机变量称为相互独立的随机变量.信息管理学院徐晔36.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的相互独立是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX1.定义一、随机变量的独立性信息管理学院徐晔37},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp