第八届全国中学生数理化学科能力展示活动八年级数学解题技能展示试题及详解【修正版】

1本题得分评卷人第八届全国中学生数理化学科能力展示活动八年级数学解题技能展示试题（A卷）及解答试卷说明：1、本试卷共计15题，满分为120分2、考试时间为120分钟3、请在密封线内填写所在地区学校、姓名和准考证号4、成绩查询：2016年1月5日起，考生可通过活动官方网站查询成绩及获奖情况一、选择题（每题6分，共48分，每题只有一个选项是正确的）1、20162－672×3×4030+162409×25=（）.A.2015；B.2016；C.1；D.0解：20162－672×3×4030+162409×25=20162－2016×4030+403×403×25==20162－10×2016×403+25×4032=（2016-5×403）2=1选C2、2015年10月在福建举行的首届全国青年运动会，传递火炬时火炬离主会场的距离y与传递时间x之间的函数关系如右图，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是（）A．B．C．D．解：由已图形可知，：开始一段时间离主会场越来越远，然后有一段时间离主会场的距离不变，然后离主会场越来越近；A：行走路线是离家越来越远，不符合；B：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；C：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；故选：D3、下列图案是用四种基本图形四种基本图形按照一定规律拼成的，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是（）总分2A．B．C．D．解：∵每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形一个循环，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形是第47个图形，47÷4=11…3，∴第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是故选C．4、函数y=|x-4|+|x-6|的最小值是（）.A.2B.2C.4D.6解：像这种|x-R|的形式,可以画一条横坐标,看作点x到点R的距离,像Y=|x-4|+|x-6|就可看作动点x到4的距离与到6的距离的和,当点位于4和6之间时（包括4和6）,距离之和最小,即函数Y=|x-4|+|x-6|取得最小值2,以上通过草图能很容易看出，选A5、如图所示：△ABC的面积为1平方厘米，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积是（）.A.9/20；B.1/2；C.11/20；D.3/5解：延长AP交BC与点D,则△ABP与△BPD全等,AP=PD所以△APC与△PCD面积相等所以△PBC的面积等于1/2，选B6、Usingmax（a1，a2，…，an），min（a1，a2…，an）rcprcsentsthemaximumandminimumofa1，a2，…，an,rcspectively,therearethe3followingconclusions：①max（a，b）+max（c，d）=max（a+b，c+d，a+c，b+d）；②min（a，b）+min（c，d）=min（a+c，a+d，b+c，b+d）；③Ifmax（a，b）＜max（c，d），thena＜c，b＜d；④Ifmin（a，b）＜min（c，d），thena＜c，b＜d．Thenumberofcorrectconclusionsis（）.A.0B.1C.2D.3译文:用max（a1，a2，…，an），min（a1，a2…，an）分别表示a1，a2，…，an中的最大与最小者，有下列结论：①max（a，b）+max（c，d）=max（a+b，c+d，a+c，b+d）；②min（a，b）+min（c，d）=min（a+c，a+d，b+c，b+d）；③若max（a，b）＜max（c，d），则a＜c，b＜d；④若min（a，b）＜min（c，d），则a＜c，b＜d．其中正确结论的个数是()解答：∵max（a1，a2，…，an），min（a1，a2…，an）分别表示a1，a2，…，an中的最大与最小者，∴①max（a，b）+max（c，d）=max（a+b，c+d，a+c，b+d），正确；②min（a，b）+min（c，d）=min（a+c，a+d，b+c，b+d），正确；③若max（a，b）＜max（c，d），则a＜c，b＜d，错误；④若min（a，b）＜min（c，d），则a＜c，b＜d，错误．故选：C7、为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。现在加密匙为y=kx3，若“4”通过加密后得到的明文是“2”，则接受方得到密文“1/256”解密后得到的明文是（）.A.1/2；B.1/4；C.2；D.1/8解：将x=4,y=2代人y=kx3求得k=1/32,y=1/256时，求得x=1/2选A。8、在一个仓库里堆积着正方体货箱若干，若搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是想出一个办法：将这堆货箱的三视图（观测者从正面、左面、上面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形）画了出来．你能根据如图所示的三视图，帮他清点出箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A.6；B.7；C.8；D.94本题得分评卷人答案：C解析：根据正视图和侧视图，可以在俯视图中标出每个位置上小正方体的个数，即这堆货箱每一列的箱子数，如下图所示，所以货箱共有8个．二、填空题：（每题6分，共24分）9、有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是____，依次继续下去…，第2016次输出的结果是_____．3;2解：试题分析：根据题意得：开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是7+5=12；第2次输出的结果是×12=6；第3次输出的结果是×6=3；第4次输出的结果为3+5=8；第5次输出的结果为×8=4；5第6次输出的结果为×4=2；第7次输出的结果为×2=1；第8次输出的结果为1+5=6；归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环，∵（2016﹣1）÷6=335…5，∴第2016次输出的结果与第6次输出的结果相同，为2。10、如下图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为__________cm．（不计接缝，结果保留准确值）答案：（120+90）．解析试题分析：根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD是上底面的两边．作CB⊥AD于点B，则BC=10，AC=20，∠ACD=120°，那么AB=AC×sin60°=10，所以AD=2AB=20，胶带的长至少=20×6+15×6=120+90（cm）．故答案是（120+90）．611、如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中b＜a＜b．将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为______(含a、b的代数式表示）．答案：3a﹣2b解析：由轴对称可以得出A′B=AB=a，就有A′C=b﹣a，从而就有A′C′=b﹣a，就可以得出C′D′=a﹣2（b﹣a），化简就可以得出结论．解：由轴对称可以得出A′B=AB=a，∵BC=b，∴A′C=b﹣a．由轴对称可以得出A′C′=b﹣a，∴C′D′=a﹣2（b﹣a），∴C′D′=3a﹣2b．故答案为：3a﹣2b12、一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3+（-2）=1。若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}。（1）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗?_______在图1中画出四边形OABC；（2）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O；请用“平移量”加法算式表示它的航行过程。7本题得分评卷人解：（1）最后的位置仍是B（2）{2，3)+{3，2}+{5，5}={0，0}三、解答题（每小题16分，共48分）13、“国庆”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．某一天在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．若等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示。已知检票的前a分钟只开放了两个检票口.(1)求a的值．(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？分析：（1）根据原有的人数－a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=520建立方程求出其解就可以；（2）设当a≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数8法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式就可以求出结论；（3）设需同时开放n个检票口，根据原来的人数+15分进站人数≤n个检票口15分钟检票人数建立不等式，求出其解即可．解：（1）由图象知，640+16a-2×14a=520，∴a=10（2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得10k+b=520;30k+b=0解得：k=-26,b=780，y=-26x+780，当x=20时，y=260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人．（3）设需同时开放n个检票口，则由题意知14n×15≥640+16×15解得：n≥2144∵n为整数，∴n最小=5．答：至少需要同时开放5个检票口．14、在△ABC中，BC=a，AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a²+b²=c²。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论。9解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD2=a2﹣x2根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．即a2+b2+2bx=c2．∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2+b2＜c2．15.设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，则25k+6也是两个连续正整数的乘积。（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，则k也是两个连续正整数的乘积。证明：（1）由题意,可设k=n(n+1),其中n为任意正整数∴25k＋6=25n(n+1)+6=25n²+25n+6=(5n+2)(5n+3)∴25k＋6也是两个连续的正整数的乘积（证毕）（2）证：由题意,可设25K＋6=n(n+1),其中n为正整数10则25k=(n²+n-6)=(n-2)(n+3)=(n-2)[(n-2)+5]如果n-2不是5的整数倍，则(n-2)+5也不是5的整数倍，与k是正整数矛盾。∴n-2是5的整倍数,设n-2=5p(p为正整数)，则n+3=5p+5=5(p+1)∴25k=(n-2)(n+