量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量经典力学：粒子的运动状态由坐标和动量描述，力学量由的坐标和动量的函数描述。例如：动能，势能，角动量。量子力学：粒子的运动状态由波函数描述，力学量由算符描述。需要什么样的算符来描述，如何描述，正是本章的内容。),(pr22pT)(rUprL),(tr主要内容•§3.1表示力学量的算符•§3.2动量算符和角动量算符•§3.3电子在库仑场中的运动•§3.4氢原子•§3.5厄密算符的本征函数的正交性•§3.6算符与力学量的关系•§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系•§3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律（一）算符定义（二）算符的一般特性§3.1表示力学量的算符算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。（一）算符定义Fˆ用算式表示为：算符表示对函数的运算得到另一个函数。例如:Fˆ)(ru)(rvrvruFˆ（6）厄密算符(7)算符的本征值方程(8)力学量算符的构成（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）算符函数（二）算符的一般特性（1）线性算符定义:Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。是线性算符。单位算符动量算符Iipˆˆ例如：若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（2）算符相等（3）算符之和定义:若两个算符Ô、Û,对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。之和。势能算符和体系动能算符等于算符表明VTHHamiltonVTHˆˆˆˆˆˆ例如:注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。显然，算符求和满足交换率和结合率。（4）算符之积定义:若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。不对易。例如：算符xxipxˆxxxxiixpx)(ˆ)1(证：xxxxiixixp)(ˆ)2(nnFnxxFn!)0(0)()(设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:nnFnUUFnˆ)ˆ(!)0(0)(ninntHitHe]ˆ[!10ˆ（5）算符函数例如:这样形式的方程称为算符的本征值方程。本征值方程的解：求得满足方程的一系列本征值：和相应的本征函数:是常数xxFˆn,,,21（6）算符的本征值方程FˆFˆ,,,21n,3,2,1ˆnxxFnnn可以简单记作(7)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.是两个任意波函数和其中*)ˆ(ˆ*OdOd注II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。(请同学们自己证明)注I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。2.注:nnnFˆdFdFnnnn*)ˆ(ˆ*ddnnnnnn*)(*ddnnnnnn***0**)(dnnnn0n0*)(nn若则有证毕.证明:3.定理:厄密算符的本征值一定是实数。和设两个任意波函数证明都是厄密算符和动量算符坐标算符例：。dxdipxx：ˆˆ。x。xdxdx是厄密算符所以是实数由于因为*)(*1dxdxdidxp*ˆ*2dxdxdi**dxdxdi*dxp*ˆ。p，，，x是厄密算符则时若当ˆ00•量子力学中表示力学量的算符必需是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.•经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符.),(prF)ˆ,ˆ(prFxxxˆxippxxˆ222222ˆˆ2pTpT)(2)(2ˆˆ)(22222rUrUpHrUpHirprLprLˆˆˆ例如没有经典对应的力学量则唯象地引入,如宇称和自旋等.(8)量子力学中力学量算符的构成（一）动量算符（1）Dirac—函数（2）动量本征方程（3）动量本征函数归一化（二）角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征方程（3）角动量算符的对易关系（4）角动量升降阶算符§3.2动量算符和角动量算符(一)Dirac—函数1.定义：0000)(xxxxxx)0(1)()(0000dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：)()()(00xfdxxxxf2.性质：)()()()(000xxxfxxxf)(||1)(xaax)()(xx0x0x)(0xx推广到三维：zyxr)()(3.—函数亦可写成Fourier积分形式：ikxedkx21)(令k=p/,dk=dp/,则dpexpxi21)(dxepxppxi21)(，则作代换：1)(xedxxik此式是—函数的积分表示式.4.—函数的微商：—函数不是普通的函数,它属于泛函,其微商亦应当专门来定义,为了简单我们不专门来研究,但是运算中可以将它的微商看作普通函数来处理.例如:对于一个连续函数f(x)0)()()()()()(fdxxxfxxfdxxxfikxekdkix2)(积分表示式（二）动量算符的本征值和本征函数1.动量本征方程)()(rpripp)()()()()()(rprirprirpripzpzpypypxpxI.求解)()()()(zyxrpzdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()()()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyixxipzppyppxp采用分离变量法，令：代入动量本征方程且等式两边除以上式，得：解方程式可以得到rpzpypxpppppiziyixizyxceecececzyxzyxr321)()()()()()()(这里的常数c是真正的常数这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。于是：2.归一化系数的确定这里常数c1与x无关,但可以是y,z的函数,同理c2可以是x,z的函数c3可以是x,y的函数.dcdrp22||)(无法正常归一化.rpiprpprprpppeppcdecdeec）ppdrriii2332)(22*212||||||()()(最后我们得动量本征函数的归一化连续谱本征函数的归一化连续谱本征函数规定归一化为—函数即:)(*ˆˆd，F，F则规定是连续谱即的本征值是连续谱若xyzAA’oL（3）箱归一化在箱子边界的对应点A,A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件]2[]2[zpypLpizpypLpizyxzyxcece,2,1,02211][xxxxxLpinLnpnLpex于是有：由此得：这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,2,1,0,22zyzzyynnLnpLnp同理：zyLrA,,2zyLrA,,2][222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer1*322/2/22/2/LcdcdLLppLLrpVrpLnnniizyxee12/31)(所以c=L-3/2，归一化的本征函数为：波函数变为这时归一化系数c可由归一化条件来确定：讨论：（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：p(a)A’p(b)Ap(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔p=2/L与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L时，本征值变成为连续谱。（3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为函数（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。(三）角动量算符（1）角动量算符prLriprLˆˆˆ(I)直角坐标系)(ˆˆˆ)(ˆˆˆ)(ˆˆˆxyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL222222222222)()()[()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆˆˆxyzxyzxyzxyzzyxyxxzzypypxpxpzpzpyLLLLL定义角动量平方算符)3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrxzyxxxxxfxfxrrfxfiiii,,,,321其中zzzrrzyyyrryxxxrrx或cossinsincossinzrsyrxrrxz球坐标ry(2)球坐标sin1sincos1coscos1rzryrx0sincos1sinsin1zryrx将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：将（3）式两边分别对xyz求偏导