第七章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函§1.要素需求函数§2.短期成本函数和长期成本函数§3.学习曲线与成本次可加性§4.利润函数与供给函数本章要点§1.要素需求函数一、要素需求函数的推导121122(,)pqCpfxxrxrxb121122(,),qfxxCrxrxb令11221211220,0,pfrpfrxxpfrpfr即说明,利润最大化的条件为要素的使用要达到其边际产量的价值=要素价格。由上述条件可导出要素的需求函数:11112222(,,),(,,)xxrxpxxrxp例:1212,0,0,1,0,0.qAxxxx求关于x1和x2需求函数:111211212212122:pfpAxxrpfpAxxrrxxrx解把代入第1个式了,有:111112111121rpAxxrrprrx1,r令则1111121211221212()(,,)()(,,)rrrrrrxpArrprrxpArrprr同理,用成本最小化求要素需求函数11221212min{}..(,)0,0xrxrstfxxqxx拉氏函数为:12112212111222(,)[(,)00LxxrxrxqfxxLrfxLrfx121122(,)Lqfxxrfrf从可解出要素的需求函数注意:在第1种方法中,一般要求生产函数是规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函数的方法更具有一般性。二、要素价格变化对要素需求量的影响定义:12(,)fxx严格为凹,如果11221112211221222210,00fffffffff当生产函数严格为凹时,利润极大化问题有解。112200pfrpfr求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分,可得:1111221121122222111122112112222200pfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdr后两式可写作:11121112122222pfpfdxfdpdrpfpfdxfdpdr用克莱姆法则解dx1和dx2,21122120,:Dfff可得11122221222211221222211[()()]1[()]dxfdpdrpffdpdrpfpDfdrfdrffffdppD22111122111121[()]dxfdrfdrffffdppDr1对x1的影响20,drdp令则有12211222211(),10(0,0)dxfdrpDdxfDfdrpD即r2对x1的影响10,drdp令则有1121221()0(0,0)dxfDfdrpD若可见,上式取决于f12的符号。f12是指x2增加后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。p对x1的影响120,drdr令则有112222111222211222111(),1[]0,0,0,0,:0dxffffdppDdxffffdppDfDffdxdp即通常为正于是有§2.短期成本函数和长期成本函数一、成本函数的定义121212(,),,,0,0,:qfxxrrxx生产函数为要素价格成本函数为12112212(,,)min()..(,)Crrqrxrxstfxxq上述最小化问题的解称为条件(产出量给定时求要素需求)要素需求函数。则成本函数为:*112(,,)xrrq**1111122212(,,)(,,)(,,)Crxprxrxprxrxp二、短期成本函数成本函数可表示为:12(,,)Cqrrb若生产函数为:12(,),,qfxx若要素价格给定于是()Cqb1.平均成本(AC或ATC)与边际成本(MC)的关系()CqbATCqq()qAVCq',()bdCAFCMCqqdq在平均成本的最低点,AC=MC。''2'()()(())0()()qbqqqbqqqbqqMCAC同理可证,在AVC的最低点,AVC=MC。SMCAFCTFC短期成本曲线综合图ATC切线STCAVCOQCOCQ切线TVCEFMC先通过AVC的最低点,然后再通过MC的最低点。因为当AVC最低时,AFC还在下降,AC未达到最低。2.成本函数的二阶性质'22''2222()()0()00pqqbdpqdqddCqdqdqdCdq利润最大化的一阶条件利润最大化的二进制阶条件边际成本递增三、长期成本函数若生产函数为:12(,,)qfxxk则短期成本函数可表示为:1122()STCrxrxkp、r1和r2给定时,x1和x2是q函数。此时12(,,,)()STCqrrkkr1和r2给定时,(,)()STCqkkSTC1STC2STC3LTC140300900qbcdaC厂商打算供应140T,他会选用STC1这个规模。现假设供应的产量为300T,显然在300-650T之间的范围内,第二个规模更适用。以下依次类推。A.LTC曲线代表每一产量水平上都选取一最优的生产规模,此生产规模上对应的STC曲线与LTC曲线相切。B.LTC是STC曲线的包络线。C.LTC曲线比STC平缓。长期总成本的定义:每一产量水平上所能达到的最低总成本。(,)()(,)()(,,)0CqkkCqkkGCqk令为一隐函数,(,,)(,,)0kGCqkkGCqk对求偏导,令其等于0说明当k变化时,企业充分利用了k的潜力。即找出最佳k和q的关系。由上式解得:()Cq长期成本函数例:若一组短期成本函数由下式决定:3220.040.9(11)5(1,2,)Cqqkqkk即企业在不同阶段的短期成本函数,求长期成本函数。32232(,,)0.040.9(11)5(1,2,)01000.10.040.9511kGqCkqqkqkkGqkkqCqqq§3.学习曲线和成本次可加性一、学习曲线如果厂商的生产规模并未发生变化,而其平均生产成本却长时期地连续下降,那又该如何解释呢?由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验,提高生产效率,因而其平均生产成本通常会随厂商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体原因是存在学习效应,又称为“干中学”(learningbydoing)。1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉的过程,生产实践越多,他们的经验就越丰富,技术就越熟练,完成一定生产任务所需的时间也就越短。2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会在长期的生产过程中得到完善,走向成熟,这将使产品的成本降低。3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合作的时间越长,他们对厂商的了解越全面,其提供的协作就可能越及时、有效,从而降低厂商的平均生产成本。学习曲线的形状bACaqQABC100120160100020003000O式中AC是累积产量为Q时厂商的平均生产成本,a,b乃是大于零的常数。a的经济涵义是第一单位产出的平均成本,b则反映厂商学习效应的大小:b越大,平均成本下降的速度越快(即学习曲线越陡),学习效应越显著;反之,平均成本下降很慢,学习曲线比较平缓,学习效应不显著。若考虑两个时期1,2。其产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指。即第一期的产出量越多,则第二期的生产成本会降下来。0/12qC有时学习曲线也可用要素的使用量来表示:ANL例:设有一公司,在累积产量达到20时,测得总用工为200小时;在累积产量达到40时,测得总用工时为360小时,试估计学习曲线。12200/2020360/4040LALA12/,:0.92ln(0.9)0.0152ln20.0152LL可得从L1式中解出A:0.01520.015210201015.7720AA因此,学习曲线为:0.015215.77LN1.反映规模报酬递增的若干成本变化二、成本函数的次可加性与规模报酬考虑只生产一种产品,设C(q)的为企业生产q产量的(最优)总成本。假定成本函数除零点外二阶可微。'0()0()0qFCxdxqCq其他''00,(),()qFCxCxdx固定成本边际成本可变成本(1)若对所有可能的产出量q,C''(q)0,则边际成本严格递减。(2)若对所有的产出量q1和q2,0q1q2,下式成立,则平均成本严格递减。2121()()CqCqqq(3)若对所有的产出量qi,下式成立,则成本函数严格次可加(在一个有限的产量变动范围内,共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成本)。11()nniiiiCqCq2.两个定理【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平均成本也如此。'0'02:()()()()/qqCqFCxdxdCqdFdCxdxqdqqdqqdqdFFdqqq证明''''0[0,],()()()()/.qxqCqCxCqCxdxq范围内有边际成本递减,则q点的边际成本必定是范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平均成本。由于边际成本递减,边际成本小于平均成本,因此,严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成本。因此,[0,]xq'0()/0()0qdCxdxqdqdCqdqq【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。(1)iIqq设平均成本在任何地方都递减表示:111()(),()(),()()()iiiinnniiiiiiCqCqqqCqCqqqCqCqCqqqqq两边求和:由(1)式可得到:11()()()nniiiiCqCqqCqCqq边际成本在任何地方严格递减的条件最强,意味着平均成本严格递减和严格次可加,但逆命题不一定成立。§4.利润函数和供给函数max(,)0..()pyrxxystfxy利润最大化问题:**(,)(,)yyprxxpr供给函数投入品需求函数一、利润函数的定义利润函数是下列最大值函数:(,)max(,)0..()prpyrxxystfxy(,)(,)max()pryxpyrx利润函数一定是指最大利润是存在的,且它只依赖于产出价格和要素价格。利润函数只有在规模报酬递减时才存在。假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为(在p和r给定时):''()pfxrx规模报酬递增意味着:''()()(1)ftxtfxt对两边乘p,同减去:'()rtx''''''''()()[()]()(,)pftxrtxtpfxrtxtpfxrxpfxrxpr''',()xyfx因此和已使利润最大化的前提相矛盾.二、利润函数的性质:,,,(0)0,0,0,(,),:nnfRRRfprpr如果生产函数在定义域上连续严格递增且严格拟凹则对连续且有(1)对于p递增;(2)对于r递减;(3)对于(p,r)是一次齐次的(k=1);(4)对于(p,r)是凸的;(5)当(p,r)0时,(p,r)是可导的,并且有霍太林引理:(,)(,)(,)(,)(1,2,,)iipryprpprxprinr(,)(1),0pryp按包络定理(因