《微观经济十八讲》第二章间接效用函数与支出函数

第二章间接效用函数与支出函数一、相对价格变化与收入变化对最优消费量的影响§1.间接效用函数1x2x2yp1yp12pp'12pp'1yp1x2yp1yp'1yp2x'2yp收入变化的影响1x2x0x1x2x价格和收入变化对最优消费量的影响二、间接效用函数间接效用函数的存在对于说明政府政策对消费者福利的影响有比较便利的条件，如控制价格和收入政策。(,)max()(,)nxRvpyuxxpy..stpxy1.基本概念间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者的最优消费时的效用，或最大化效用与价格集和收入集之间的函数关系。2.间接效用函数的性质（1）在价格和收入上是连续的。()nRR预算集的定义域当价格和收入有微小变化时，最大化的效用也会有微小的变化。因为如果u（x）是连续的，则最大化（一阶导数）的值一定也是连续的。（2）它对于价格和收入是零次齐次的，即价格和收入的同比例变化并不影响效用水平。(,)max(),..nxRvtptyuxsttpxymax(),..nxRuxstpxy需要证明，对于所有的t0，都有：(,)(,),(,)(,)vpyvtptyvtptytvpy即证明：（3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上则是严格递减的。(,)max(),..nxRvpyuxstpxy其中，*(,)xxpy因此，(,)/max()/nxRvpyyuxy(,)()()Lxuxypx****(,)()0,(1,2,)iiiLxuxpinxx将x*与λ*代入L(·)。因此：***(,)(,)vpyLxyy由于，*()0(()),0iiuxupx严格递增*(,)00vpyy因此，（4）满足罗尔恒等式。如果间接效用函数在点上是可导的，且：一定存在这个证明要用到包络定理。(,)vpy(,)py(,)0vpyy(,)(,)(,),1,2,,jjvpyvpyxpyjnpy(,)(,)max(,)s.t(,)(,)|(,)(,)|xxpyxxpyufpypxyvpyLxyyvpyLxxpp由得，L(x,)=u(x)+(y-px)两式相除，就可以得到罗尔恒等式。3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响设效用函数为:1212(,)uxxxx最大化问题为:12maxxx1122..stpxpxy121122()Lxxypxpx10Lx20Lx0L因此，可得到:**21121*122xppxxpp即x**1212,22yyxxpp若p1=0.25，p2=1，y=2。**1212(,),xxuxx把和代入可得到:0.50.51212(,,)()()222yyvppypp若政府征收0.5元的所得税，消费者收入降为1.5元，间接效用也从2降为1.5。现考虑政府对X1征收商品税0.25元，此时,p1会从0.25涨到0.5元。问题1：商品税使政府能征到0.5元的税收吗?问题2：商品税对消费者的间接效用的影响有多大？（1）*11,2(2yxyp收入不变)p1从0.25涨到0.5元后，。说明政府开征商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1，政府的税收也是0.5元。*12x112(2)0.5,(,,),pvppy代入新的间接效用函数为:120.50.50.5122(2)(,,)1.411.52()()2(0.5)1yvppypp可见，开征商品税对消费者的间接效用的负面作用大于开征所得税。原因：一是价格提高减少了消费者的实际购买力；二是改变了商品的相对价格。开征所得税只产生第一方面的影响。§2.支出函数一、支出函数的定义支出函数：这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足约束条件。如果在价格为p时为满足特定效用水平u所必需的最低花费为e(p,u),则：*1122(,)(,)(,)hhepupxpupxpue(,)min()s.t.()L=x-()-()0()-0()()nxRiiiiijjepupxuxupuxuLuxpxxLuxupuxxpuxx求出的最小解称为希克斯需求函数。记为：(,),1,2,...hiixxpuin代入支出px得最小支出函数。记为：*1122(,)(,)(,)hhepupxpupxpue1xx2,()xRuxu2:xRpxpx最小化支出问题uO2x21ep*1ep11ep2(,)hxpu1(,)hxpu二、希克斯需求函数希克斯的需求函一般记为：即为达到既定的效用水平u，选择的最小支出时消费者对x的需求。(,)hpu希克斯的需求函数又称补偿性需求函数。一是某商品价格下降，效用增加，可假定把消费者收入减少（负的补偿），使其效用水平与以前一样。二是某商品价格上升，效用减少，此时增加消费者的收入，使其效用水平也不变。这两种情况下，消费者的选择会发生何种变化？BC’A2x1x1x1poo11p01p00212(,,)hxppu10212(,,)hxppu0112(,,)hxppu00112(,,)hxppu10112(,,)hxppu1102pp0102ppA’价格变动的替代效应希克斯需求曲线如果u(·)是连续且严格递增的，则当p0时，支出函数在点对于p可微，且三、谢泼特引理0000(,)(,),(1,2,,)hiiiepuxxpuinp(,)epu00(,)epu含义：已知支出函数，可通过该函数对价格求偏导，推导出希克斯需求函数。证明：(,)min(),()nxRepupxuxu由于L(x,)=x+-()puuxminpx在处,有****L(x,)=x+-()puux运用包络定理，可得到：***(,)(,)(,)hiiiiepuLxxxpupp例：11212(,)(),01)uxxxx由,求支出函数.121122,1/1212min()..()0,0xxpxpxstuxxxx112112212(,,)[()]Lxxpxpxuxx1111121111121222112()0()0()0LpxxxxLpxxxxLuxx11122111112122111111122222,,u=(x),:1pxpxpxxxpxuppuxxxpp把代入得1r令,可得到:1111112212221()hrrrrpxuuxpppp1111121()hrrrrxuppp这即是x2和x1的希克斯需求函数（只取决于p和u）。将x2和x1代入支出函数问题的目标函数，可得：121112221211111111212122112(,,)(,,)(,,)()()()hhrrrrrrrrrrreppupxppupxppuuppppuppppupp求上式对于p1的偏导，可直接验证谢泼特引理。如果收入为y，消费的商品数量和价格分别为：四、预算份额1212(,,,)(,,)nnxxxppp和则称：iiipxSy为购买xi的收入（预算）份额。如果i=1,2，则111211pxSSSy五、对偶性问题就是指在经济学中具有成对意义的一些概念和问题。在需求分析中的主要的对偶关系有：(1)(,),(,)(2)(,),(,)(3),(,)(4),(,)xpyhpvpyhpuxpepuepvpyyvpepuu