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1习题11111．验证以下集合对于所指的运算是否构成实数域R上的线性空间：（1）实数域R上的全体n阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法；实数域R上的全体n阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R上的线性空间nnR×，记},|{AARAAVTnn=∈=×；},|{AARAAWTnn−=∈=×因为，对任意的VBA∈,，BBAATT==,，则BABAT+=+)(，即VBA∈+，所以V对加法运算封闭；对任意的VA∈，Rk∈，AAT=，则kAkAT=)(，即VkA∈，所以V对数乘运算封闭；所以，V是nnR×的一个线性子空间，故V构成实数域R上的一个线性空间。同理可证，W也是一个线性空间。（2）平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合，对向量的加法和数量乘法；设2R∈α，0≠α，记},|{2α不平行于xRxxV∈=，任取Vx∈0，则Vx∈+0α，Vx∈−0α，但Vxx∉=−++ααα2)()(00，所以，V对加法运算不封闭，故V不构成实数域R上的线性空间。（3）实数域R上次数等于n的多项式全体，对多项式的加法和数量乘法；记][xRn表示实数域R上次数不超过n的多项式全体，则次数等于n的多项式全体可表示为：][][1xRxRVnn−−=，任取Vxf∈)(，均有Vxf∉=⋅0)(0，所以，V对数乘运算不封闭，故V不构成实数域R上的线性空间。（4）全体实数对},|),{(Rbaba∈，对于如下定义的加法⊕和数量乘法�：),(),(),(2121212211aabbaababa+++=⊕，)2)1(,(),(211111akkkbkabak−+=�；因为该加法⊕和数量乘法�运算满足线性运算的全部性质：i）),(),(),(),(),(11222121212211babaaabbaababa⊕=+++=⊕；ii）),(),(),()),(),((33212121332211baaabbaabababa⊕+++=⊕⊕))(,(32132121321aaabaabbaaa+++++++=),(323121321321aaaaaabbbaaa+++++++=)),(),((),(332211bababa⊕⊕=；2iii）),()0,0(),(1111baba=⊕；iv）)0,0(),(),(211111=+−−⊕ababa；v）),()2)11(11,1(),(111211111baababa=−+=�；vi）))(2)1(2)1(,()2)1(,()),((212111211111lakkallkklbklaalllblakbalk−+−+=−+=���),()()2)1(,(112111baklaklklklbkla�=−+=；vii）)2)1(,()2)1(,()),(()),((211121111111alllblaakkkbkabalbak−+⊕−+=⊕��)2)1(2)1(,(2121121111klaalllbakkkblaka+−++−++=),()()2)1))((()(,)((112111balkalklkblkalk�+=−+++++=；viii）),()),(),((2121212211aabbaakbabak+++=⊕��))(2)1()(),((221212121aakkaabbkaak+−++++=)2)1(2)1(,(22212122121akkakkaakkbkbkaka−+−++++=)2)1(,()2)1(,(22222111akkkbkaakkkbka−+⊕−+=)),(()),((2211bakbak��⊕=。所以，全体实数对},|),{(Rbaba∈构成实数域R上的线性空间。（5）设+R表示全体正实数，加法⊕和数量乘法�定义为abba=⊕，kaak=�，其中+∈Rba,，Rk∈．因为该加法⊕和数量乘法�运算满足线性运算的全部性质：i）12122121)aaaaaaaa⊕===⊕；ii））（）（）（）（321321321321321)(aaaaaaaaaaaaaaa⊕⊕===⊕=⊕⊕；iii）11111aaa=⋅=⊕；iv）1111111=⋅=⊕aaaa；3v）1111)(1aaa==�；vi）11111)()()()(alkaaakalklkkll����====；vii）11111111)()()()()(alkaaaaaalaklklklk���+==⋅=⊕=⊕+；viii）)()()()(2121212121akakaaaaaakaakkkk����⊕====⊕（）。所以，全体正实数+R构成实数域R上的线性空间。2．验证⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5321,4102,1123,31024321αααα是22×R的基．设044332211=+++ααααxxxx，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+−=+−+−=−−=+++054303022023243214321424321xxxxxxxxxxxxxx，因为，04443211222)2(44132111002022325413311120201232≠=−−−−−=−−−−−−=−−−−−−，所以，线性方程组只有零解，即向量组4321αααα，，，线性无关，故4321αααα，，，构成22×R的基．3．求线性空间][4xP的向量256)(xxxf−−=在基32)1(,)1(),1(,1−−−xxx下的坐标．因为222)1()1(71)1(2)1(5)1(5656)(−−−−=−−−−−−−−=−−=xxxxxxxxf，所以，)(xf在基32)1(,)1(),1(,1−−−xxx下的坐标为），，，（0170−−。4．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3142在基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1110,1011,1101,1111下的坐标．设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛314211101011110111114321xxxx，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++=++31424321421431321xxxxxxxxxxxxx，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−==12114321xxxx，4所以，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3142在基⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1110,1011,1101,1111下的坐标为），，，（1211−。5．设nnCA×∈，λ是数。记}|{xAxCxEnλλ=∈=。证明λE是nC的子空间。如果λ是A的特征值，则称λE是A的特征子空间．因为，000==λA，所以，λE∈0，即Φ≠λE。对任意的λEyx∈,，xAxλ=，yAyλ=则)()(yxyxA+=+λ，所以λEyx∈+，即λE对加法运算封闭；对任意的λEx∈，Ck∈，则)()()()(kxxkAxkkxAλλ===，所以λEkx∈，即λE对数乘运算封闭；故λE是nC的子空间。6．设有3R的两个子空间，}02|),,{(3213211=−+=xxxxxxV，}023,0|),,{(321213212=−+=+=xxxxxxxxV．求子空间2121,VVVV∩+的基，以及它们维数．因为02321=−+xxx解为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11020121ccx，所以，),(211ααspanV=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2011α，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1102α；又因为⎩⎨⎧=−+=+023032121xxxxx的解为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1113cx，所以，)(32αspanV=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1113α。由于321ααα=−，所以12VV∈，从而121VVV=+的基为1α，2α，维数为2；221VVV=∩的基为3α，维数为1。7．已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5344,9565,1123,31022121BBAA，而},{},,{212211BBspanVAAspanV==求子空间2121,VVVV∩+的基，以及它们维数．5因为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=00000000231012014620101550462035115913351146204532),,,(2121BBAA，所以21132AAB−=，2122AAB+−=，或21132BBA+=，2122BBA+=，从而212121VVVVVV==∩=+，其基为1A，2A，维数为2。8．已知22×R中的两组基分别是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0010,0100,00014321eeee⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5321,4102,1123,31024321αααα．（1）求由基4321,,,eeee到基4321,,,αααα的过渡矩阵；（2）分别求矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3142在基4321,,,eeee和基4321,,,αααα下的坐标；（3）设V是由在基4321,,,eeee和基4321,,,αααα下有相同坐标的二阶方阵构成的集合。证明：V是22×R子空间，并求出V的基与维数．因为42113123102eee+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=α；4321212131123eeee−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=α；42134124102eee+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=α；432145235321eeee−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=α，所以⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=5413202031111232),,,(),,,(43214321eeeeαααα，即由基4321,,,eeee到基4321,,,αααα的过渡矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=5413202031111232A。6又因为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−3412),,,(3412),,,(3142143214321Aeeeeααααα，所以，矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3142在基4321,,,eeee下的坐标为)3,4,1,2(，在基4321,,,αααα下的坐标为)7,4,9,15(1−−=−xA，其中⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=10210014200021010321016412047050210101311135413420201311121232)(xA⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→7100040100900101500017100010210021010134001。最后，设V是由在基4321,,,eeee和基4321,,,αααα下有相同坐标的二阶方阵构成的集合，即}|{4433221144332211ααααααxxxxexexexexV+++=+++==，由于),,,(44332211eeeeB−−−−=αααα⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=7000510031103101830051003110310131102120413031016413212031011231可逆，所以}0{=V。从而V是22×R的零子空间，V的维数等于0，并且它没有基。9．设}0|),...,,{(21211=+⋅⋅⋅++=nnxxxxxxV，}|),...,,{(21212nnxxxxxxV=⋅⋅⋅===。（1）分别求21,VV的基；（2）证明：21VVRn⊕=．7因为021=+++nxxx⋯解为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−++⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜