矩阵论07

同济大学数学系2009-3-22武汉理工大学理学院第6章矩阵分析及其应用6.1矩阵的极限2定义.设，其中,3,2,1,lCAnmk,),3,2,1(排成的序列为矩阵序列称由kAk)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11kmnkmkmknkkknkkkaaaaaaaaaA。记作}{kA3ijkijkkijaaak)()(lim}{且都收敛，序列时，若当收敛于则称矩阵序列}{kAmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211记作时的极限，当为矩阵序列称kAAk}{AAkklim4例.设矩阵序列3221cos)11(43121kkkkkAkkkkAlim求1320limeAkk5BBAAkkkklim,lim性质:设矩阵序列收敛，且}{},{kkBA数列收敛，且，则}{},{kkbabbaakkkklim,limbBaABbAakkkkk)(lim)1(ABBAkkk)(lim)2(例2：已知矩阵序列：则2,,,,,kAAAlim0kkA()1AA1122diag((),(),,())rrJJJJ1()(1,2,,)1iiiiiiiddJir其中证明：设的Jordan标准形的充要条件是。11122diag((),(),,())kkkkrrAPJJJP于是lim0kkAlim()0,1,2,,kiikJir又因显然，的充要条件是1()(1,2,,)1iiiiiiiddJir1()1iiiiiiJIH23,,HH把“1”所在的斜线向上一步步移动220100111000H00()()()kkkkllnllnlliiikikillJIHcHIcH11112211111111iikkikidkdkkikiccc0011100111222()()()iiikkkkllnllnlliiikikilldnddnnnkikikikiJIHcHIcHcHcHcHcH111111()iiiidkdkkikikikkiiikkikiddccJc其中(1)(1)()!0()lklkkkklclklclk当当于是的充要条件是。lim()0kiikJ1ilim0kkA()1A因此的充要条件是例：判别敛散性10000.91000.9A110000.90.9000.9kkkkAk11001lim00.90.90000.90kkkkk0.30.80.60.1A10.91Alim0kkA0.510.3110.2A(0.5)(0.3)(0.2)IA()0.51Alim0kkA6.2矩阵的微分与积分)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAmnmmnn设函数矩阵2sin1()11lntttAtttExample15()()ijmnddAtatdtdt()()bbijaamnAtdtatdt定义：()ijmnAat矩阵函数导数定义为：积分定义为：2sin1()11lntttAttt例设函数矩阵()At计算的导数与积分()?dAtdt0()?tAsds矩阵微分的性质)()())()((tBdtdtAdtdtBtAdtd)(),(tBtA(2)设分别为mn,nl可微矩阵，则)()()()())()((tBdtdtAtBtAdtdtBtAdtd)(),(1tAtA(3)设为可微矩阵，则性质:(1)设为同阶可微矩阵，则)(),(tBtA)()()()(111tAtAdtdtAtAdtd21()0xAxx例1：已知函数矩阵试计算23231(1)(),(),()(2)()(3)()dddAxAxAxdxdxdxdAxdxdAxdx证明：02()10xdAxdx220()00xdAxdx3300()00dAxdx下面求。由伴随矩阵公式可得3()Axx2()3dAxxdx1()Ax由于，所以1*23231()()()1001111AxAxAxxxxxxx再求1()dAxdx213410()23dxAxdxx例2：已知函数矩阵23sincossin()10xxxxxAxexxx试求022(1)lim()d(2)()dd(3)()dd(4)()dd(5)()dxAxAxxAxxAxxAxx例3：已知函数矩阵试求证明：sincos()cossinxxAxxx2'00(),(())xxAxdxAxdx00000sincos()cossin1cossinsin1cosxxxxxxdxxdxAxdxxdxxdxxxxx同样可以求得222'220sincos(())2cossinxxxAxdxxxx例4：已知函数矩阵试计算22()20300xxxxexexAxeex31'00(),(())xAxdxAxdx6.3矩阵级数和矩阵幂级数1230kkAAAA定义：称为矩阵级数，1234,10(1)kkkAkkExample1?kkA0.10.2,0.20.3A20kkEAAA矩阵幂级数1230nknkSAAAAA部分和0NNkkSA部分和{}lim,NNNSSS若矩阵序列收敛，且0kkAS则称矩阵级数收敛，且其和为，，记作0kkAS0kkA否则，称矩阵级数发散矩阵级数的敛散性1234,10(1)kkkAkk例1?kkA11112941011nnnSn解：290)(0kkijkkaA都收敛。收敛的充要条件是每个则)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11kmnkmkmknkkknkkkaaaaaaaaaA若矩阵级数的收敛性的判别302120kkkcAcAcA定义：给定方阵A,有如下矩阵幂级数矩阵幂级数Problem：矩阵幂级数何时收敛？0,kkkczR的收敛半径为定理：设0()kkkARcA当时，矩阵幂级数收敛.则31210.10.210.90.8kkk例讨论矩阵幂级数的敛散性解：0.10.20.90.8A例0.20.50.10.10.50.20.20.40.2A2nEAAA则：绝对收敛。211nxxx因收敛半径为。0.9A33矩阵函数已知32()72xxxx可定义32()72AAEAAProblem：给定函数()sinxfxxe()sinAfAAe有意义吗？340()kkkfzcz定义：如果函数f(z)可以表示为幂级数0()kkkfAcA则定义矩阵函数思考：如果函数f(z)不可以表示为幂级数，f(A)是否有意义？6.4矩阵函数35例：kzzkzze!1!2112kAAkAAEe!1!212EeO,特别的220112!!!kAtkkkkteEAtAtAtAkk1253)!12()1(!51!31sinkkzkzzzz1253)!12()1(!51!31sinkkAkAAAAkkzkzzz242)!2()1(!41!211coskkAkAAEA242)!2()1(!41!21cos352111(1)sin3!5!(21)!kkAtAtAtAtAtk10(1)kkxx思考：什么样的矩阵才可以使得右边的式子有意义？10()kkEAA矩阵函数的性质性质：设A,B为n阶方阵，且AB=BA,则AeedtdAtAt)1(BAABBAeeeee)2(AAee1)()3(390)(!1kkAtAtke11)()!1(1kkkAttAkedtd)()()!1(111AAtkkkAAtkkk0)(!1AeAt40矩阵函数的计算方法一：Jordan标准形法1,APJP已知矩阵A的Jordan标准形为JsJJJ1100()kkkkkkcAcPJP1010kkkkkskcJPPcJ41)()()()()()()(!21)1()!1(1!21iiiirriiifffffff0()kikikfJcJ矩阵函数的计算方法一：Jordan标准形法4212,,sin3AtAeA计算例1已知121,,cos2AtAeA计算例2已知43例3设200131111A求矩阵函数AtAeAe,sin,44200131111EA21000322022210002000(2)200021002J1123,(,,)PAPJPppp1223(2)0,(2)0,(2)AEpAEpAEpp101010110P1011010111P123(),()sin,()AAtfAefAAfAe123(),()sin,()zztfzefzzfze2122210100011010001011000111AJeePePeee2100121110e1sinsinAPJPsin200cos2sin2cos2cos2cos2cos2sin2cos2101sin2000110100sin2cos201011000sin21112122210100011010001011000111tAtJtttteePe