高等数学-第七版-课件-3-1-微分中值定理

第一讲微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用几何事实xyoab),(ba使得0)(f在[a,b]上连续)(xf在(a,b)内可导)(xf)()(bfafxyoxyoxyo数学结论成立条件)(xfxyoab)(xf如果函数f(x)满足定理(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在区间端点处函数值相等,即f(a)=f(b)(),ab使得()0f那么在(a,b)内至少有一点证明思路费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0闭区间上连续函数的性质注1．定理的条件是重要的（1）条件不满足结论有可能不成立（2）条件不满足结论也有可能成立2111201)(2xxxxxf例xyo2．定理的条件是充足的例21)(xxfxyo微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用abxyo)(xfxyoab)(xf如果函数f(x)满足:定理(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导证明思路罗尔定理拉氏定理辅助函数f(x)φ(x)?)()(ba)(xL几何方法:)()(xLxf)(x代数方法:0)()()(abafbff0)()()(xabafbfxfabafbff)()()(那么),(ba使得))(()()(abfafbf注1．与罗尔定理的关系罗尔定理拉氏定理推广特例2．定理结论的其它形式))(()()(1212xxfxfxfξ在x2与x1之间xfxfxxf)()()(11ξ在x1与x1+Δx之间10)()()(111xxxfxfxxf有限增量公式微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用拉格朗日中值定理abafbff)()()(()()xtyt()()()()()()baba柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)(,),()0xabFx对任一)()()()()()(FfaFbFafbf,使等式那么在(a,b)内至少有一点成立注与拉格朗日定理的关系拉氏定理柯西定理推广特例三个中值定理的注:1．关系：前者是后者的特例，后者是前者的推广2．只是肯定了ξ的存在性，没有指出ξ的确切位置3．中值定理是联系函数与导数的桥梁中值定理并不是一种无聊的数学游戏，而是数学科学最有力的杠杆之一．恩格斯微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用微分中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、中值定理的应用四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用例1()(1)(2)(3)fxxxx证明(1,3)使得()0f例20110nanana证明1010nnnaxaxa有小于1的正根．四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用例3用于理论证明如果f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内f'(x)=0证明f(x)在闭区间[a,b]上恒为常数．用于证明等式例4证明arcarcsincos(11)2xxx用于证明不等式例5证明1212sinsinxxxx例6证明)0()1ln(1xxxxx四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用四、中值定理的应用（一）罗尔定理的应用（二）拉格朗日定理的应用（三）柯西定理的应用例7设0ab，f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导),(ba使得()()()lnbfbfafa证明例8设ab0，a≠b,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导),(ba使得1()()()()abffabfafb证明罗尔定理拉格朗日定理柯西定理辅助函数方法证明等式、不等式