微难点12-隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)

第1页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)第2页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航析典例·举题破难栏目导航解类题·融会贯通第3页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航析典例·举题破难第4页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上的两点，点A的坐标为(1,1)，且AB⊥AC，求线段BC长度的取值范围．【思维引导】思路1：求出点M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2：设出AM＝x，OM＝y，寻找到x，y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理．第5页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】方法一：如图(1)，设BC的中点为M(x，y)．(例1(1))因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得x－122＋y－122＝32，所以点M的轨迹是以12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM的取值范围是6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．第6页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航方法二：设BC的中点为M，设AM＝x，OM＝y.(例1(2))【精要点评】求线段长度的取值范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解．因为OC2＝OM2＋CM2＝OM2＋AM2，所以x2＋y2＝4.因为OA＝2，所以x＋y≥2，x＋2≥y，y＋2≥x.作出约束条件表示的可行域如图(2)所示，因为x∈6－22，6＋22，所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．第7页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A的坐标为(0,2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，求实数a的取值范围．【解答】设点M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，即x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．若圆C上存在点M满足MA2＋MO2＝10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以|2－1|≤CE≤2＋1，即1≤a2＋a－32≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0,3]．第8页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航1.阿波罗尼斯圆(线)是解析几何中常见的问题背景，要充分了解其特性．动点P(x，y)到定点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之比为定值λ(c，λ为正数)，求点P(x，y)的轨迹方程．【解析】由题意知，由距离公式x＋c2＋y2＝λx－c2＋y2，化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2c(1＋λ2)x＋(1－λ2)c2＝0.(1)第9页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【讨论】方程的图形是什么？①当λ＝1时，得x＝0，也就是线段F1F2的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线)；②当λ≠1时，方程(1)可变形为x2＋y2＋2c1＋λ21－λ2x＋c2＝0，化成标准形式x－λ2＋1λ2－1·c2＋y2＝2cλλ2－12(2)，这是以λ2＋1λ2－1·c，0为圆心，且半径r＝2cλλ2－1的圆(称之为阿波罗尼斯圆)．第10页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航2.圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；策略二动点P对两定点A，B的张角是90°(kPA·kPB＝－1或PA→·PB→＝0)确定隐形圆；策略三两定点A，B，动点P满足PA→·PB→＝λ确定隐形圆；策略四两定点A，B，动点P满足PA2＋PB2是定值，确定隐形圆；策略五两定点A，B，动点P满足AP＝λBP(λ0，λ≠1)，确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)．第11页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航解类题·融会贯通第12页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航1.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，那么ba－2c的取值范围为___________．－33，33【解析】由题知ac2＋bc2＝1，设ac＝x，bc＝y，则x2＋y2＝1，ba－2c＝bcac－2＝yx－2，问题转化为求单位圆上的点与点(2,0)连线的斜率的取值范围．设直线的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝r，得－2kk2＋－12＝1，解得k＝±33，所以所求斜率的取值范围为－33，33，即ba－2c的取值范围为－33，33.第13页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围是________．[1,5]【解析】因为直线l与圆M相离，所以点A在圆M外．设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为MQ＝2，所以MA≤4.设A(x0，6－x0)，则MA2＝(x0－1)2＋(6－x0－1)2≤16，解得1≤x0≤5.第14页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航3.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为_____________________．2－22，2＋22第15页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解析】由题意知圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，所以2－1≤a2＋a－42≤2＋1，即1≤a2＋a－42≤3，解得实数a的取值范围是2－22，2＋22.第16页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实数m的取值范围是___________________．[－2，2]【解析】设点G(x，y)，因为G为AB的中点，且AB＝2GO，所以AG＝GO＝x2＋y2.在Rt△AGC中，AC＝3，CG＝x＋22＋y－m2，由AC2＝AG2＋CG2，得3＝x2＋y2＋(x＋2)2＋(y－m)2，即(x＋1)2＋y－m22＝2－m24.显然2－m24≥0，所以－2≤m≤2，故实数m的取值范围是[－2，2]．第17页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋3y－b＝0上，过点P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是______________．－203，4第18页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解析】由题意知PA2＝PO2－12,PB2＝PO21－22.因为PB＝2PA，所以PB2＝4PA2，所以PO21－4＝4(PO2－12)，所以PO21＝4PO2.设P(x，y)，则(x－4)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简得x＋432＋y2＝649，所以满足条件的点P在以－43，0为圆心，83为半径的圆上．又因为点P在直线x＋3y－b＝0上，且恰有两个点，所以直线和圆应相交，所以－43－b1＋383，解得－203b4.第19页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航6.已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足PA→·PB→－2λ＋1＝0的点P恰有两个，则实数λ的取值范围是______________．38，12第20页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解析】如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，则PA→·PB→－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得x2＋y2＝2λ(λ0)，所以所有满足PA→·PB→－2λ＋1＝0的点P是以O为圆心，2λ为半径的圆．由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，所以OM2λ≤OA，即322λ≤1，解得38λ≤12.(第6题)第21页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在直线l上．若圆C上存在点M，使得MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．(第7题)第22页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C为(a,2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.又因为MA＝2MO，所以设点M为(x，y)，则x2＋y－32＝2x2＋y2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D存在交点，所以|2－1|≤a2＋[2a－4－－1]2≤2＋1.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.综上所述，a的取值范围为0，125.第23页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航8.已知定点O(0,0)，M是圆(x＋1)2＋y2＝4上任意一点，试问：是否存在不同于O的定点A，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．第24页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】假设存在满足条件的点A(m，n)，设M(x，y)，MOMA＝λ0，则x2＋y2x－m2＋y－n2＝λ.又M(x，y)满足(x＋1)2＋y2＝4，两式联立得(2mλ2＋2λ2－2)x＋2nλ2y＋3－λ2(m2＋n2＋3)＝0.由M的任意性知2mλ2＋2λ2－2＝0，2λ2n＝0，3－λ2m2＋n2＋3＝0，解得A(3,0)，λ＝12，故存在点A(3,0)满足题意．第25页微难点12隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)高考总复习一轮复习导学案·数