数值分析4.1+4.2

第四章数值积分与数值微分2第四章数值积分与数值微分4.2Newton-Cotes公式4.3复合求积法4.4Romberg算法4.5Gauss求积公式4.6数值微分4.1引言3本章要点公式：近似值的几个基本求积计算定积分从而导出代替被积函数本章将用插值多项式badxxfxfxP)(),()((1)等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2)数值微分公式4本章应用题:为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量:以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标,数据如表(单位mm):x7.010.513.017.534.040.544.548.056.0y1444547505038303034y24459707293100110110110x61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5y1363441454643373328y2117118116118118121124121121x111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0y1326555545250666668y2121122116838182868568502040608010012014016020406080100120140瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km)试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值41288平方公里比较y2y164.1引言§badxxffI)()(对于积分公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:的一些数值只给出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf2ln1sin,)(,)()()2(xexxxxFxFxf，，如：不是初等函数如求不出来的原函数dxxxfba411,,)()3(如：求原函数较困难的表达式结构复杂7以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法(用数值方法计算定积分的近似值)回顾：定积分的定义[,]ab在积分区间上任意分割，取一组节点bxxxan1000()lim()nbiiaTifxdxxfT其中为分割后最大子区间的长度。把定义中的极限符号去掉会怎样？8引申：定积分的近似值0()()()nbiiaiIffxdxxf0=()niiifx0()=()nniiiIffx称为数值积分公式。构造一个数值积分公式，需要研究两个问题：ix（1）积分节点如何选取？i（2）积分系数如何求解？怎么办？引入代数精度定义9定义1.若求积公式()nIf0()niiifx(),mPx对任意次数不超过次的代数多项式都准确成立即即只要立次多项式却不能准确成但对,1m()baPxdx0()niiiPxmi,,1,0bamdxx110nmiiix则称该求积公式具有m次的代数精度代数精度也称代数精确度为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立10()11,baPxdxba若，则所以有0niiba22(),2babaPxxxdx若，则所以有2202niiibax11(),1mmbmmabaPxxxdxm若，则所以有1101mmnmiiibaxm11据此，可列如下线性方程组：01220011110011++++++2+++1nnnmmmmmnnbabaxxxbaxxxm,,mnmnmn对三种情况讨论可得以下结论：11()nnIfn（）个节点的数值积分公式至少具有阶代数精度；()()=()nnnIfnIfIf(2)若有另一个数值积分公式声称也至少具有阶代数精度，则，它们的系数是如下线性方程组的唯一解：1201220011110011++++++2(*)+++1nnnnnnnnnnbabaxxxbaxxxn例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.)2()5.0()0()(21020fffdxxfI13012012222012++20+0.5+22(*)80+0.5+23解：)]2(5)5.0(16)0(3[91)(2ffffI所以95,91693-210，，得：14例2.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.220)]()0([)]()0([2)(IhffahhffhdxxfIhhdxxI00解:222hI]20[2232hahhI0)(xxf对于hI2hhdxxI011)(xxf对于22hhdxxI022)(xxf对于33h3)221(ha2II令121a)()(121xIxI)()(020xIxI15]30[22242hahhIhdxxI033)(xxf对于44h44h]40[23252hahhIhdxxI044)(xxf对于55h65h3,2,1,0)()(2jxIxIjj)()(424xIxI因此所以该积分公式具有3次代数精确度)()(424xIxI)()(323xIxI161.插值型求积公式具体步骤如下:上取一组节点在积分区间],[babxxxan10次插值多项式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(为插值基函数其中：),,1,0)((nkxlk不同的插值方法有不同的基函数(*)通常解方程组获得数值积分公式的系数比较困难，有没有快速有效的其他方法呢？17有的近似作为被积函数用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)(bankkkdxxlxf0)()(0()()nbkkaklxdxfx则，若计bakkdxxl)(badxxffI)()(nkkkxf0)(这就是插值型数值求积公式，称为求积系数其中k)(fIn18badxxffI)()(nkkkxf0)(------插值型数值求积公式)(fInbadxxffI)()(此时)()(fIdxxLnban)()()(xLxfnxfn次的多项式时，是不超过当是相等的。）获得的通过解方程组（和的阶代数精度，所以这里也至少具有表明kknnfI*)(因此可以通过插值型数值求积公式来获得同样的解。（重解上例1可以实验一下）190()=()nniiiIffx数值积分公式的误差分析：()()()()bbnnaaIfIffxdxLxdx[()()]bnafxLxdx(1)1()()(1)!nbnafxdxn()fxn从误差公式中可以看出，当是不超过次的多项式时()()0nIfIf1()nnIfn再一次验证了：“个节点的数值积分公式至少具有阶代数精度”这个结论。0()=()nniiiIffx注：的积分系数为正值时，公式是稳定的。20一、Newton-Cotes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式],[)(baCxf设函数等份分割为将积分区间nba],[nkkhaxk,,1,0,为步长其中nabh各节点为4.2Newton-Cotes公式§21nkkknxfAfI0)()(根据插值型数值积分公式知：bakkdxxlA)(其中n阶Newton-Cotes求积公式bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj0:的计算kA注意是等距节点22thax假设],[bax由],0[nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj0dthhjkhjtnkjnj00)()(dtjtknkhnkjnjkn00)()!(!)1(jhaxjkhaxk0()11()[(1)((1))][((1))()](1)!()!jnjknkkjkkkkkkknknk001()()njnjktjhdtkj2300(1)()()!()!nknkjnjkAbatjdtnknk)()(ˆnkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以Newton-Cotes公式化为系数称为CotesCnk)(思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明该结果24二、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezia)公式及其余项abhbxaxn,,,110则取dtt10)1()1(0CCotes系数为21dtt10)1(1C21求积公式为dtjtknknCnkjnjknnk00)()()!(!)1(10,nk11,nk25)(1fI10)1()()(kkkxfCab)]()([210xfxfab)]()([2bfafab)(1fI即上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)]()([2)(bfafab)(1fIT梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(126dxbxaxfTRba))((2)()(dxbxaxfba))((2)(],[ba第二积分中值定理6)(2)(3abf)()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab2312)(|)(|MabTR|)(|max],[2xfMbax梯形(trapezia)公式具有1次代数精度故ａｂx(x-a)(x-b)在区间[a,b]上始终不变号272.Simpson公式及其余项2,,2,,2210abhbxabxaxn则取Cotes系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求积公式为2I20)2()()(kkkxfCabdtjtknknCnkjnjknnk00)()()!(!)1(28)](61)(64)(61)[(210xfxfxfab)]()2(4)([6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为)(2fISSimpson公式的余项为)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代数精度293.Cotes公式及其余项4,4,,1,0,,4abhkkhaxnk则取Cotes系数为dtttttC)4)(3()2)(1(!44140)4(0907dtttttC)4)(3()2(!34140)4(19032dtttttC)4)(3(