行列式因子一

一、行列式因子一、行列式因子二、二、不变因子不变因子§§8.38.3不变因子不变因子1.定义一、一、行列式因子行列式因子注：阶行列式因子.k的首项系数为1的最大公因式称为的(),kDl()Al中必有非零的级子式，中全部级子式()Alkk()Al设－矩阵的秩为，对于正整数，lrk1,kr££()Al若秩，则有个行列式因子.()()Arl=r()Al（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）ll证：只需证，－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．2.有关结论设经过一次初等变换变成，与()Bl()Al()fl分别是与的k级行列式因子．()Al()gl()Bl下证，分三种情形：fg=各级行列式因子.1)（定理3）等价的－矩阵具有相同的秩与相同的l级子式反号.k公因式，此时的每个级子式或k()Bl者等于的某个级子式，k()Al或者与的某个()Al因此，是的级子式的k()Bl()fl[],()().ijABll¾¾¾®①()().fgll从而()()().icABlléùëû¾¾¾®②级子式的c倍.k者等于的某个级子式，或者等于的某个()Alk()Al此时的每个级子式或k()Bl因此，是的级子式的()flk()Bl公因式，()().fgll从而此时中包含两行()Bl,ij级子式相等；()()().ijABjlléù+ëû¾¾¾¾®③的和不包含行的那些级子式与中对应的kjk()Al中包含行但不包含行的级kji()Bl子式，按行分成的一个级子式与另一个()Alikk级子式的倍的和，()jl±即为的两个级子式()Alk从而()().fgll的组合，因此是的级子式的公因式，k()fl()Bl同理可得，()().gfll()().fgll\=2）若矩阵的标准形为l-()Al1()()()00rddDlllæöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èøOO其中为首1多项式，且1(),,()rddllL1()(),1,2,1,iiddirll+=-L则的级行列式因子为()Alk12()()()(),1,2,.kkDdddkrllll==LL证：与等价，()AlQ()Dl完全相同，则这个级子式为零.k在中，若一个级子式包含的行、列指标不k()Dl()()ADll\与有相的秩与行列式因子.12(1,,),kiiir££L级子式所以只需考虑由行与列组成的12,,kiiiL12,,kiiiLk1()().kiiddllL即而这种级子式的最大公因式为k12()()().kdddlllL所以，的级行列式因子()Alk12()()()(),1,2,.kkDdddkrllll==LL证：设矩阵的标准形为l-()Al3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.l-1()()()00rddDlllæöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èøOO其中为首1多项式，且1(),()rddllL1()(),1,2,1,iiddirll+=-L于是211211()()()(),(),,()()()rrrDDdDddDDllllllll-===L即由的行列式因子所唯一确定.1(),,()rddllL()Al由2），的级行列式因子为k()Al12()()()(),1,2,.kkDdddkrllll==LL4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：rl-r1()(),1,2,,1.kkDDkrll+=-L所以的标准形唯一.()Al1.定义二、二、不变因子不变因子矩阵的标准形()All-称为的不变因子.()Al12(),(),,()rdddlllL的主对角线上的非零元素1()()()00rddDlllæöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èøOO有相同的标准形，1)（定理5）矩阵、等价l-()()ABll()()ABllÛ、有相同的不变因子.证：必要性显然.只证充分性.2.有关结论所以与等价.()()ABll若与有相同的行列式因子，则()()ABll与也有相同的不变因子，()()ABll()()ABllÛ、有相同的行列式因子.()()ABll从而与则，为一非零常数.()Adl=d的第n个行列式因子()Al\()1.nDl=1()(),1,2,,1.kkDDknll+=-L证；若可逆，()Al因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即E()Al与等价.E()Al2）若的矩阵可逆，则的不变nn´l-()Al()Al又的n个行列式因子满足:()Al()1,1,2,,.kDknl\==L从而不变因子1()()1,1,2,,()kkkDdknDlll-===L所以，的标准形为()Al.E矩阵的乘积.注：可逆与等价.()AlÛE()Al3)（定理6）可逆可表成一些初等()AlÛ()Al证：可逆与等价()AElÛ()AlÛ存在初等矩阵11,,,,,stPPQQLL使11()stAPPEQQl=LL11.stPPQQ=LL存在一个可逆矩阵与一个可逆()PlÛss´nn´()()()().BPAQllll=推论两个的矩阵、等价sn´l-()()ABll矩阵，使()Ql例、求矩阵的不变因子l-)()()2200100001Alllllæö+ç÷=ç÷ç÷+èø)()21000210200210002Alllll--æö--ç÷=--ç÷ç÷-èø()22,,1.llll++()11Dl\=()Al的非零二级子式为:()2201,0lllll+=+()()23201.01lllll+=++解：1）的非零1级子式为:()Al()20,01lll=+()2200()00001Alllllæö+ç÷=ç÷ç÷+èø()()21.Dlll\=+又()()()3231.DAllll==+所以，的不变因子为：()Al()()()()()()211211,1,DdDdDlllllll====+()()()()23321.DdDlllll==+()2200()00001Alllllæö+ç÷=ç÷ç÷+èø2）1002101,021ll---=---Q又()()()()1223,DDDDllll()()121.DDll\==而()()()442.DAlll==-的不变因子为()Al\()()()()()412341,2.ddddlllll====-()31.Dl\=()2100021000210002Alllll--æö--ç÷=--ç÷ç÷-èø练习：求的不变因子()Al()1210001000000001nnaaAaalllll-æöç÷-ç÷=ç÷ç÷-+èøLLLLLLLLLL答案:()()111,nddll+===L()()111.nnnnndAaaalllll--==++++L作业求矩阵的不变因子l-()3100410061211451Alllll--æö+ç÷=----ç÷ç÷èø