克龙尼克潘纳KronigPenney模型

§4-6克龙尼克－潘纳（Kronig-Penney）模型布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性，即均为调幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时，无法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项，禁带宽度，紧束缚模型中的B值。克龙尼克－潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。根据Bloch定理（k,x）＝u（k，x）eikx其中u（k，x）＝u（k,x+na）代入薛定谔方程m222(k,x)＋E－V(x)(k,x)＝0在势场的突变点，波函数及它的导数经过整理得到U（x)满足的方程0])(2[220222ukVEmdxduikdxud)(xuikedxduedxdikxikx必须连续，实际上要求函数u(x)和它的导数连续，下面分不同区域求出u(x)的表达式（1）（2）1.在区域0xc,势能V0＝0(n=0)其中A0和B0是n=0时的待定系数。设222mE（3）U(x)满足的方程（1）（1）成为0][22222ukdxduikdxud其解为xkixkieBeAxu)(0)(0)(（4）（5）0])(2[220222ukVEmdxduikdxud2.-bx0,势能为V0（n=0，设V0E）其中C0和D0仍是n=0时的待定系数。设2020222)(2VmEVm（6）U(x)满足的方程（1）（1）0])(2[220222ukVEmdxduikdxud成为0][22222ukdxduikdxud其解为（7）（8）xikxikeDeCxu)(0)(0)(在nana+xna+c的区域，与（5）式对应))(())(()(naxkinnaxkineBeAnaxu（9）又由u(x)=u(x+na)比较可得nakineAA)(0nakineBB)(0（10）xkixkieBeAxu)(0)(0)(（5）同理在na-bna+xna的区域，与（8）式对应))(())(()(naxiknnaxikneDeCnaxu又由u(x)=u(x+na)比较可得naikneCC)(0naikneDD)(0（12）（8）xikxikeDeCxu)(0)(0)(（11）在x=0处，函数u(x)和它的导数连续A0+B0=C0+D0(13)0000)()()()(DikCikBkiAki(14)dxduxikxikeDeCxu)(0)(0)(xkixkieBeAxu)(0)(0)(（8）（5）比较可得在x=c（等效于x=-b)处，由u的连续条件得到))((1))((1)(0)(0baikbaikckickieDeCeBeAcikcikckickieDeCeBeA)(1)(1)(0)(0等效于aikeCC)(01又bikbikckickieDeCeBeA)(0)(0)(0)(0（16）（15）()10ikaDDe同理，由x=c处，连续的条件得dxdu0)(0)(0)(0)()()()()(DeikCeikBekiAekibikbikckicki（17）A0+B0=C0+D0(13)0)(0)(0)(0)()()()()(DeikCeikBekiAekibikbikckicki（17）0000)()()()(DikCikBkiAki（14）bikbikckickieDeCeBeA)(0)(0)(0)(0（16）以上是关于A0、B0、C0、D0的齐次线性方程组，它们有非零解的条件是其系数行列式等于零。利用2xxeeshx把此行列式化简后，得到：2xxeechx由于波矢k是实数－1≤coska≤122kacbchcbshcoscossin222（18）1cossin2122cbchcbsh（19）222mE2020222)(2VmEVm式中（19）式是决定于粒子能量的超越方程，相当复杂。为简化，设V0→∞，b→0(c→a),但V0b保持有限值。此时又设Pab2lim2aPbb21则bbsh1bchkacbchcbshcoscossin222(18)式前面已设22c→a可化简为coskaacossinaaP（20）利用（20）式可以确定粒子的能量。画出曲线设)cos(cossin)(kaaaaPafaaf~)(由于coska是介于－1和＋1之间，可以求出满足该条件的222mE上图粗线画出了许可的值,并可计算相应的能量E。由图再找出相应的coska,，即可得到E～ka曲线。a讨论：把代入得能量可有准连续值，对应于金属中自由粒子的情况。222mE2222)(222nGkmankmE）（coskaacossinaaP1．当P＝0时，由（20）式得出αa＝ka±2nπ（21）P的数值表达了粒子被束缚的程度。0aaSin22222222manmEcoskaacossinaaP2.当P→∞时，由（20）式必有得αa＝nπn为整数（22）表示粒子具有分离的能级。这对应于处于在无限深势阱中粒子的情况。所以3．由图可知，当coska=±1时，即ka=±nπ，k=±nπ/a时出现能带的间隙―――禁带。4．由式α大对应的能量E也大，又由图可知，能量较大时对应的允许带较宽。222mE