MIT 商业计划书案例

第三章连续时间系统的频域分析§3.1复指数函数的正交性与傅立叶级数§3.2周期信号的频谱及特点§3.3非周期信号的频谱§3.4傅立叶变换的性质§3.5线性非时变系统的频域分析频域分析的特点和优点：１、分析信号的频域特点：如信号的带宽，信号的谱含量等等，物理概念清晰。２、系统频域分析方法：给定频率正弦信号的零状态响应是同样频率的正弦信号，系统的作用只体现在振幅和相位上，数学上简单。３、信号频谱函数和系统的频域传输函数：包含了信号和系统的全部信息，虽然数学形式变化，但信息不丢失。•1768年，科学史有“牛顿第二”之称的傅立叶出生在法国的奥塞尔城一个裁缝之家；•1789年，参加过革命军，反对路易斯王朝。后退出军队，教会学校教数学，提出“数值分析”求得多项式根的方法。•1794年拿破仑任命为巴黎师范大学首席数学教授，27岁。•1801年，傅立叶被任命为法国格勒诺布尔的行政长宫。•1807年发表了《热的传播》，傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始.1814年拿破仑战败，被流放。1815年拿破仑偷渡回国，受到全国热烈的欢迎。傅立叶却公开反对拿破仑，后被捕，拿破仑亲自审问。•1815年拿破仑兵败滑铁卢，傅立叶从监狱中放出。傅立叶继续研究热的理论数学，并发表以边界条件解微分方程式的方法。•1830年，因心脏病去世。傅里叶：•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表在“热的分析理论”一书中法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。傅里叶的两个最主要的贡献•“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点3.1复指数函数的正交性与傅里叶级数3.1.1复指数的正交时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=f(t)*h(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。欧拉公式：)(21sintjetjejt)(21costjetjet所以，在分析周期和非周期信号时，通常把ejwt作为基本信号将任意周期和非周期信号分解为一系列虚指数函数的离散和或连续和。由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量（长，宽，高）vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。一、信号分解为正交函数1.矢量正交与正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即031iyixiTyxvvVV定义：假设有n个函数g1(t)，g2(t)，…，gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间[t1，t2]内满足如下的正交特性其中ki为常数，则函数序列g1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]区间上的正交函数集。三角函数序列{1，cosω1t,cos2ω1t,cos3ω1t,…,cosnω1t,…，sinω1t,sin2ω1t,sin3ω1t,…,sinnω1t,…为区间[t0,t0+T]T=2π/ω上的正交函数集。2121)(0)()(2ttiittjikdttgjidttgtg2、信号正交与正交函数集函数集中任意两个不同函数在[t1，t2]区间的内积为零jiiK,0常用的完备正交函数集有（1）三角函数1，cos1t，cos21t，…，cosn1t…sin1t，sin21t，…，sinn1t…（2）复指数函数ejn1t,n=0,1,2,……（3）沃尔什函数Wal(k,t)沃尔什函数系是函数值仅取“+1”、“-1”两值的非正弦型的标准正交完备函数系。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足210d)()(ttittt(i=1，2，…，n)则称此函数集为完备正交函数集。例如，函数集合的标准正交集是：sin(NX),cos(NX),N取整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。（因为任何一个函数都可以由他们通过线性叠加而构成）f(t)可用傅立叶级数表示为：（三角级数）3.1.2傅立叶级数f(t)=a0+a1cosω1t+b1sinω1t+a2cos2ω1t+b2sin2ω1t+…+ancosnω1t+bnsinnω1t+…2/T1=ω1称为f(t)的基波频率；nω1称为n次谐波；a0为f(t)的直流分量，an和bn为各余弦分量和正弦分量的幅度。（an和bn又称为傅里叶系数）注：三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数之间的内积为零，只有频率相等的三角函数做内积时才不为0.0111cos()sin()()nnnaaftttbnnf(t)傅里叶级数存在的充分条件：周期信号须满“狄利克雷”(Dirichlet足)条件，即010()tTtftdt间断点极值绝一周期内仅有限个；一周期内仅有限个；一周可期内对，积•3、傅里叶级数展开的充分条件通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。对于任意周期信号f(t)=f(t+nT),在满足狄里赫利条件下，可展成傅里叶级数。1：基波角频率a0：直流分量，an：余弦幅度，bn：正弦幅度，An：谐波幅度，•周期信号分解为三角级数（三角函数集是一组完备函数集）周期信号的分解与合成)π2(T11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf1n1n0)cos(ntnAaTttfTa00d)(1TnttntfTa01dcos)(2TnttntfTb01dsin)(22n2nbaAn注：an为n的偶函数bn为n的奇函数为了积分方便，通常取积分区间为：2~2~0111TTT或nAnAnA的偶函数是1nnnn--1n的奇函数是为一对共轭复数与nAnA-)0(00nnAnAnA的偶函数是1nnnn--1n的奇函数是为一对共轭复数与nAnA-•基波、谐波通常把频率为：11112wfT称为基波。频率为：1112222wfT称为二次谐波。1113332wfT频率为：称为三次谐波。可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。图1锯齿波的三角级数合成例3-1如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。解由于这里f(t)是奇函数，故有0d)(100TttfTa0dcos)(2221TTnttntfTa2011201221cos4dsin4dsin)(2TTTTnntnTAttnATttntfTb),5,3,1(π4nnA),6,4,2(0n所以f(t)的傅里叶级数为)5sin513sin31(sinπ4)(111tttAtf图2周期矩形波的分解与合成：图3当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。•吉布斯（Gibbs）现象105.0t)(tf1n%99n3n周期三角波的分解与合成：图4其他形式00aA22nnnbaAnnnabarctannnnAacosnnnAbsin余弦形式正弦形式00aAnnnabarctannnnAasinnnnAbcos10sin)(nnntnAAtf22nnnbaAcos)(10nnntnAAtf即把周期信号分解为各次谐波之和正弦级数与余弦级数有关结论：一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(1)当周期为2π的奇函数f(t)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为2、周期信号的对称性与傅立叶系数的关系（例3-1）0na2/01sin)(4TtdtntfTnb....)3,2,1,0(n注：周期奇函数只含正弦项TtdtntfTna01cos)(20nb定义称为如果)(tf为奇函数，傅立叶级数正弦级数。ntbnnsin1ω1定义如果分f(t)为偶函数，傅立叶级数tnnna1cos1称为余弦级数.（2）当周期为2π的偶函数f(t)展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为2/01cos)(4TtdtntfTna0nb....)3,2,1,0(n注：周期偶函数仅含直流项和余弦项（3）奇谐函数若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴镜像对称，即满足：（半周期对称）（4）偶谐函数周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足：)2()(Ttftf)2()(Ttftff(t)称奇谐函数或半波对称函数，傅立叶展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量，不含偶次项。f(t)称偶谐函数或半周期重叠函数，傅立叶展开式中只含有正弦和余弦项的偶次谐波分量，不含奇次项。)(tf0tTT2T)(tf0tTT2T•*周期偶函数、奇谐函数：只含基波和奇次谐波的余弦分量；•*周期奇函数、奇谐函数：只含基波和奇次谐波的正弦分量；•*周期奇函数只含正弦分量；•*周期偶函数含有直流分量和余弦分量。总结：从上面例子看出：（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。(2)当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次谐波分量)3cos(321twE取基波、三次谐波分量和五次谐波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E12cos()Ewt12cos(5)5Ewt有限级数对原函数的逼近情况•周期信号的复指数表示设tAtAtAatf13121103cos2coscos)(由于2eecosjjxxx则)e(e2)e(e2)(1111j2j22jj10ttttAAatf3,2,1e21jn0nAantn，欧拉公式：{)(21sintjetjejt)(21costjetjetntnFtf1jne)(所以2T2T-jnnde)(121ttfTAFtn由2T2Tjnnnde)(2j1-tnttfTbaA令，则2nn00AFaF，Fn为傅立叶系数周期信号f(t)的指数形式傅立叶展开式又称复系数形式傅立叶级数展开式nAnAnA的偶函数是1nnnn--1n的奇函数是为一对共轭复数与nAnA-)0(00n为一对共轭复数与njbnanjbna22nnnbaAnnnAacosnnnAbs