4 连续时间Fourier变换

误差理论与数据处理ErrortheoryanddataprocessingInstructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第1页第4章连续时间Fourier变换Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第2页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。同时，也看到这一表示是如何用来描述LTI系统对这些信号的作用效果的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。2而对于非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。1对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；4.0引言Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第3页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求和。处理原则：一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号。在这种表示中所得到的系数谱称为Fourier变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分本身则称之为Fourier反变换。更加确切些就是，在一个周期信号的Fourier级数表示中，当周期增加时，基波频率就减少，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成一个连续域，从而Fourier级数的求和也就变成了一个积分。Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第4页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems傅立叶的两个最主要的贡献——•“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第5页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换为了对Fourier变换表示的实质求得更深入地了解，我们先由研究过的连续时间方波的Fourier级数表示入手。)(tx21TtTTE21T2T2T2/||,0||,1)(11TtTTttx该信号的基波周期是T，基波频率就为.该方波信号的Fourier级数为：T200,)sin(010kTkTkakInstructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第6页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems图4.2周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第7页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems-T/2T/2T/2-T/2)(1nF11)(nF)(1nF22112T1频谱演变的定性观察Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第8页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems)(tx-T0T….….)(tx对非周期信号建立Fourier表示的基本思想当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号)(tx)(txInstructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第9页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystemsTdT0200k频率也变成连续变量。对周期信号)(txdtetxTatTjkTk20)(1T)()(XdtetxTatjk当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号)(tx)(txInstructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第10页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystemsdtetxXtj.).()(傅立叶变换tjkkkeatx0.)(0)()(ktxtxTdeXtxtj.)(21)(傅立叶逆变换dXXTak)(21)(1（4月14日）Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第11页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystemska)(X与之间的关系：0|)(1kkXTa周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第12页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式。分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换或傅立叶积分。)8.4()(21)(dejXtxtj)9.4()()(dtetxjXtj由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：当时：T)(,0jkXaeektjktjkdtexTaeatxTTtjkkktjkk2/2/00~1,)(~Fourier变换对Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第13页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对.注意：1时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；2频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。3两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第14页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems(a)X(ω)是一个密度函数的概念(b)X(ω)是一个连续谱(c)X(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量(d)各频率分量的频率不成谐波关系。注意：综合公式(4.8)对非周期信号所起的作用与(3.38)式对周期信号的作用相同，因为两者都相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。)8.4()(21)(dejXtxtj(3.38)ee)(2jj0tTknktkkkaatxInstructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第15页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即则该信号傅立叶变换收敛。或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：1在整个定义域绝对可积:2任何有限区间只有有限个起伏;3任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。dttx|)(|dttx2|)(|4.12Fourier变换的收敛Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第16页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充分条件，但是下一节将会看到，倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有Fourier变换。这样，就有可能把Fourier级数和Fourier变换纳入到统一的框架内。Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第17页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems4.1.3连续时间Fourier变换举例Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第18页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems一．矩形脉冲信号22jdetEXt22jejtEj2ee.22j2jE22sinE2SaE2SaEX幅度频谱：相位频谱：,2,1,0π222π122ππ122π40nnnnnEOtft22Instructor:ChenJinYuEmail:[e-mail],ChongqingUniversity第19页第四章连续时间Fourier变换信号与系统SignalsandSystems1π2fBB或频谱图2SaEX幅度频谱相位频谱频宽：XEπ2Oπ4π2π