第06章-Kalman滤波

第六章Kalman滤波与状态估计6.1引言滤波的定义滤波：从被污染的观测信号中过滤噪声，消除或减少噪声影响，求未知真实信号或系统状态的最优估计。滤波问题本质上是统计最优估计问题，常用的最优估计准则是线性最小方差估计。经典滤波方法：Wiener滤波方法和Kalman滤波方法Wiener滤波：20世纪40年代，频域法缺点：（1）滤波器非递推，计算量和存储量大（2）针对单变量平稳随机信号（3）仅可解决定常系统滤波器设计问题Kalman滤波：20世纪60年代，状态空间方法优点：（1）算法递推，计算量和存储量小（2）可处理多变量非平稳随机过程滤波问题（3）可处理时变系统滤波问题•运用：•Kalman滤波方法工程实践中获得广泛的应用，例如，应用于制导、控制、GPS定位、故障诊断、多传感器信息融合等领域，对国防建设起着至关重要的作用。状态空间方法引入了状态变量和状态空间概念。状态是比信号更广泛、更灵活的概念非常适合处理多变量系统非常适合处理信号估计问题信号可视为状态或状态的分量，系统状态变量是能体现系统特征、特点和状况的变量状态空间方法关键技术：I.状态空间模型描写状态变化规律的模型，它描写了相邻时刻的状态转移变化规律。II.观测方程描写对状态进行观测的信息，通常含有观测噪声，且通常只能对部分状态变量进行观测。III.基于射影理论的状态估计方法Kalman滤波问题在几何上化为状态变量在由观测信号生成的子Hilbert空间上的射影。经典Kalman滤波理论重要进展：——白噪声估计理论的创立运用：美国学者J.M.Mendel以石油地震勘探数据处理为应用背景，提出了动态系统的输入白噪声估值器。埋在地表下的炸药爆炸后产生的地震波在地层的反射系数序列可用Bernoulli-Gaussian白噪声来描写，它含有是否有油田及油田几何形状的重要信息。理论意义：统一解决白噪声估计问题，即解决输入白噪声和观测白噪声的估计问题，可以从理论上解决状态和信号估计问题，为最优滤波提供新方法论和新途径，具有重大理论意义。启发性例1：船舶GPS导航定位问题(具体过程见书95页)系统的状态空间模型为(6.1.8)(6.1.9)且称式(6.1.8)为状态方程、(6.1.9)为观测方程。于是船舶GPS导航定位Kalman滤波问题是：基于GPS观测数据求船舶在时刻处的位置的最优估计。(1)()()()kkukwkxΦxBΓ()()()ykkvkHx((1),(2),,())yyykt()skˆ()skk为了提高GPS定位精度，还可利用GPS给出的船舶运动速度观测信号即，其中为观测噪声，假设它是零均值，方差为独立于和的白噪声。此时有观测方程(6.1.11)其中定义(6.1.12)于是GPS导航定位Kalman滤波问题是：对系统式(6.1.8)和(6.1.11)求船舶位置的最优估计。()zk()()()zkskk()k2()wk()vk()()()kxkkyHv()()()10()(),(),()()()01ykskvkkxkkzkskk,yvH()skˆ()skk6.2射影理论•Kalman滤波器是线性最小方差估值器，也叫最优滤波器，在几何上Kalman滤波估值可看成是状态变量在由观测信号生成的线性空间上的射影。因此射影理论是Kalman滤波推导的基本工具。•定义：由随机变量的线性函数估计随机变量，记估值为若估值极小化性能指标则称为随机变量的线性最小方差估计。ymmxˆnnmy，，xbAbAˆxTˆˆ[()()]JExxxxˆx推导线性最小方差估值•定义：称为方差阵称为协方差阵[()()][()()]TxxTTxyyxPExEXxEXPExEXyEyPxxPxyP??[()()](1)[()]00(1)[(()())()()][()()(()())](分析：求代入式TTTTxxyxxyybAJExbAyxbAyJExbAybEXbAEyJExEXAyEyxEXAybEXAEytrExEXAyEyxEXAyEytrPAPPAyAPE)TyA12220TyxxyyyxyyyyyyxAJPPAPAPAPPP1ˆ()()xyyyxbAyExAEyAyExAyEExPPyEyy线性最小方差估值性质性质1：无偏性，即证：性质2：与不相关证：ˆExEx11ˆ(())()0xyyyxyyyEEEEEEExxPPyyxPPyyTT1TT1T1ˆˆ[(())()]ˆ[()()][((()))()][()()()()]0xyyyxyyyxyxyyyyyEEEEEEEEEEEEEExxxxyyxxyyxxPPyyyyxxyyPPyyyyPPPPˆxxxyy1ˆˆˆ()()(){ˆˆ().()3ˆ:()(),,}ˆ()()定义：称为在上的射影，记为，记为称与不相关为与正交（垂直）。定义：由随机向量生成（张成）的线性流形（空间）为性质：即xyyynnmmxxyxxxprojxyExPPyEyLyZZbAybRAyxxyxxyyRLyZLyLxxyxRxZ定义：由引入分块矩阵可得(1),,()mkyy((1),,())()LkLyyw(),,nnkmLwAwbbA1[,,]nmkiAAAA，1()(),((1),())knmniiiLiLkwAybAbyy，张成的线性流形定义为(1),,()ˆproj(|)proj(|(1),,())ˆ()((1),,())(1),,()proj(|(1),yyxxxwxyyxxwyyxyyxyy定义：基于随机变量对随机变量的线性最小方差估计定义为也称为在线性流形或上的射影。设为零均值随机变量，为零均值、互不相关（正交），则可得mnnmkkLLkk1())proj(|())(1),(2),,()((1),(2),,())()xyxyyyyyyy即在由张成的线性流形上的射影等于它在由每一个张成的线性流形上的射影之和.kikikLki11proj(|)proj(|)proj(|)proj(|)proj(|)proj(xzAxBzAByAxBzyAxyBzyxyxyxypqnnpnqmnmnxxx设随机变量，，随机变量，，，，随机变量则可得设随机变量，随机变量，记的分量形式为则有关系|)()()yxyxynxLL这个性质说明随机变量在线性流形上的射影的每个分量必为的相应的分量在线性流形上的射影。新息序列(1)(2)()()()proj(()(1),,(1))1,2,3()ˆ(|1)proj(()|(1),,(1))ˆ()()(|1)1,2,ˆ(1|0)((1))yyyεyyyyymkkkkkkkykkykyykkykykkkyEy设，，是随机序列，它的新息序列（新息过程）定义为并定义的一步最优预报估值为因而新息序列可定义为，其中规定[(1)]0E，这保证。新息序列几何意义()((1),,(1))kLyyk如图所示，可看到x((1),,(1))Lyykˆ(1)ykk()ykˆ()()(1)kykykk可以证明，新息序列是零均值白噪声序列。这表明新息序列是正交（不相交）序列，通过引入新息序列实现了非正交（相关）随机序列的正交化。()()(1),,()(1),,()((1),,())((1),,())1,2,proj(|(1),,())proj(|(1),,())mkkkkLkLkkkkεyyyεεεεyyxxyyxεε新息序列与原序列含有相同的统计信息，即与张成相同的线性流形：设随机变量，则可得递推射影公式1TT(1),,()proj(|(1),,())proj(|(1),,(1))[()](()())()(6.2.19)KalmannmkkkEkEkkk设随机变量，随机序列，则有递推射影公式递推射影公式是滤波器递推算法的出发点。xyyxyyxyyxεεεε6.3Kalman滤波器和预报器(1)()()(6.3.1)()()()(6.3.2)()()()()(6.3.1)6.3.2,,,nmrmkkkkkkkkkkkknnnrmnxΦxΓwyHxvxywvΦΓHΦ考虑用如下状态空间模型描写的动态系统其中为离散时间，系统在时刻的状态为，为对状态的观测信号，为输入白噪声，为观测噪声。称为状态方程，称为观测方程。分别为已知的和矩阵。称为状态转移阵，H为观测阵。().()QR3.1kvk和是零均值、方差阵各为和的不相假设声6关白噪w()0,()0EkEkwv[()()][()()]TTtjtjEkjEkjwwQvvR，[()()]0,TEkjkjwv，T10()tttjEtjδδ其中为均值信号，为转置号，，。Kalmanjkjkjk对于，，，各称为滤波器，预报器和平滑器。(0) 6.3.2()()kkxwv不相关于和假设，T0000[(0)][((0))((0))]EExμxμxμP，((1),())Kalman()kjyyx滤波问题是：基于观测，求状态的线性最小方差估值，它的极小化性能指标为Tˆˆ[(()(|))(()(|))]JEjjkjjkxxxx分析：•由递推射影公式(6.2.19)有递推关系称为Kalman滤波器增益。对(6.3.1)两边取射影有1TT(1)[((1)(1)][(1)(1)]kEkkEkkKxˆˆ(11)(1)(1)(1)kkkkkkxxKεˆˆ(1|)(|)proj(()|(1),,())(6.3.3)kkkkkkxΦxΓwyy()((1),,(0),(0))kLk由(6.3.1)迭代得，xwwx()((),(1),,(0),(0))kLkk由(6.3.2)得，yvwwx((1),,())((),,(1),(1),,(0),(0))(6.3.4)LkLkkyyvvwwx(1)kK从而有由(6.3.4)、假设6.3.1和假设6.3.2有()((1),,())kLkwyyproj(()|(1),,())0kkwyyˆˆ(1|)(|)kkkkxΦxˆˆ(1|)(1|)proj((1)|(1),,())kkkkkkyHxvyy(1)((1),,())kLkvyyproj((1)|(1),,())0kkvyy由假设6.3.1、假设6.3.2和(6.3.4)有(6.3.3)成为对(6.3.2)取射影有故有于是有ˆˆ(1|)(1|)kkkkyHxˆˆ(1)(1)(1|)(1)(1|)(6.3.5)kkkkkkkεyyyHx这引出新息表达式记滤波和预报估值误差及方差阵为TTˆ(|)()(|)ˆ(1|)(1)(1|)(|)[(|)(|)](1|)[(+1|)(1|)]kkkkkkkkkkkkEkkkkkkEkkkkxxxxxxPxxPxx则由(6.3.2)和(6.3.5)有新息表达式^~(1)(1)(1)(1|)(1|)(1)kHxkvkHxkkHxkkvkε^^(1)Φ()Γ()(1|)Φ(|)xkxkwkxkkxkk~~(1|)Φ(|)Γ()(6.3.6)xkkxkkwk由得~~~~~(1|1)(1|)(1)(1)(1|)(