搜索
九年级数学大培优췍117췍知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.【板块一】反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=kx(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式:y=kx(k≠0)或xy=k(k≠0)或y=kx-1(k≠0).▶题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦xy=2;⑧y=2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).【解析】②③④⑦⑧.▶题型二根据定义确定k值或解析式【例2】(1)反比例函数y=-32x,化为y=kx的形式,相应的k=;(2)函数y=kx中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.【解析】(1)-32;(2)y=6x.▶题型三根据定义确定待定系数的值【例3】(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)xm2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.【解析】(1)-1;(2)m=2,y=4x-1.第19讲反比例函数第二十六章反比例函数(췍118췍针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是(B)A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=kx的形式后,相应的k=-32.3.若关于x的函数y=(m2-4)xm2-m-7是反比例函数,求m的值.解:3.【板块二】反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(k≠0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一、三象限的两支曲线;当k0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二、四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.3.增减性当k0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.▶题型一反比例函数的增减性【例1】在反比例函数y=1-8mx的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x10x2,y1y2,则m的取值范围是()A.m18B.m18C.m≥18D.m≤18【解析】A.根据条件x10x2,y1y2,可判断其图象位于二、四象限,∴1-8m0,∴m18.【例2】已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6≤x-2时,y的取值范围是;(3)当|y|≥3时,x的取值范围是.【解析】(1)图略;(2)1≤y3;(3)-2≤x0或0x≤2.九年级数学大培优췍119췍▶题型二反比例函数的图象的对称性【例3】如图,直线y=ax(a≠0)与双曲线y=kx(k≠0)交于A,B两点,试说明A,B两点关于原点对称.【解析】联立y=ax,y=kx{,得ax2-k=0,∴xA+xB=0,过A,B两点分别作x轴的垂线,由全等即可得OA=OB,∴A,B两点关于原点对称.▶题型三反比例函数的图象与系数的关系【例4】如图,反比例函数①y=k1x,②y=k2x,③y=k3x,④y=k4x的部分图象如图所示,则k1,k2,k3,k4的大小关系是.【解析】k3k4k1k2.|k|越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四反比例函数中k的几何意义如图,过双曲线上任意一点P作x轴,y轴的垂线段PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,即在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S△PMO=S△PNO=12|k|.【例5】如图,平行于x轴的直线AB与双曲线y=k1x和y=k2x(k1k2)在第一象限内交于A,B两点,若S△OAB=2,求k1-k2的值.【解析】延长AB交y轴于点C,则S△OAB=S△OAC-S△OBC=12k1-12k2=2,∴k1-k2=4.【例6】如图,直线y=-12x与双曲线y=kx(k0)交于A,B两点,且点A的横坐标为-4.(1)求k的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y=kx(k0)于P,Q两点,点P在第二象限.若A,B,P,Q四点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.【解析】(1)A(-4,2),k=-8;(2)易知四边形APBQ是平行四边形,∴S△APO=14S四边形APBQ=6,过点A作AD⊥x轴于点D,过点P作PE⊥x轴于点E,S四边形ADOP=S△ADO+S△APO=S四边形ADEP+S△PEO,∵S△ADO=S△PEO,∴S△APO=S四边形ADEP,设P(a,-8a),则12·(2-8a)·(a+4)=6,∴a1=8,a2=-2,∵点P在第二象限,∴a0,∴a=-2,∴P(-2,4).췍120췍针对练习21.对于反比例函数y=3x,下列说法正确的是(D)A.图象经过点(1,-3)B.图象在第二、四象限C.y随x的增大而减小D.x0时,y随x增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y=kx+1和函数y=kx(k≠0)的图象大致是(B)3.反比例函数y=a2-a+1x(a为常数)的图象上有三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中x1x20x3,则y1,y2,y3的大小关系是y2y1y3.4.如图,点A是反比例函数y=kx(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,点P是y轴负半轴上一点,△ABP的面积为1,求k的值.解:连接AO,∵AB∥y轴,∴S△ABP=S△ABO=1,∴12|k|=1,∴k=-2.5.点A(a,y1),B(2a,y2)是反比例函数y=kx(k0)的图象上的两点.(1)比较y1与y2的大小关系;(2)若A,B两点在一次函数y=-43x+b位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A,B两点作x轴的垂线,垂足分别为点C,D,连接OA,OB,且S△OAB=8,求a的值;(3)在(2)的条件下,如果3m=-4x+24,3n=32x,求使得mn的x的取值范围.解:(1)∵A,B是反比例函数y=kx(k0)图象上的两点,∴a≠0,当a0时,点A,B在第一象限,由a2a可知,y1y2,同理,a0时,y1y2;(2)∵A(a,y1),B(2a,y2)在反比例函数y=kx(k0)的图象上,∴AC=y1=ka,BD=y2=k2a,∴y1=2y2.又∵点A(a,y1),B(2a,y2)在一次函数y=-43x+b的图象上,∴y1=-43a+b,y2=-83a+b,∴-43a+b=2(-83a+b),∴b=4a,∵S△AOC+S梯形ACDB=S△AOB+S△BOD,又∵S△AOC=S△BOD,∴S梯形ACDB=S△AOB,∴12[(-43a+b)+(-83a+b)]×a=8,∴a2=4,∵a0,∴a=2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y=-43x+8,反比例函数的解析式为y=323x,A,B两点的横坐标分别为2,4,且m=-43x+8,n=323x,因此使得mn的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出2x4或x0.九年级数学大培优췍121췍【板块三】反比例函数与方程、不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一反比例函数与方程【例1】如图,直线y=-x+5与双曲线y=4x交于A,B两点.(1)求A,B两点的坐标;(2)将直线AB向左平移n个单位长度,若平移后直线AB与双曲线有唯一公共点,求n的值.【解析】(1)A(1,4),B(4,1);(2)将直线AB向左平移n个单位长度后其解析式为y=-(x+n)+5,联立y=4x,y=-(x+n)+5{,得x2+(n-5)x+4=0,依题意,Δ=(n-5)2-4×1×4=0,解得n=1或9.【例2】直线y=2x+4与反比例函数y=6x的图象交于A,B两点,直线y=m(m0)与直线AB相交于点M,与反比例函数的图象相交于N,若MN=4,求m的值.【解析】∵点M在直线AB上,∴M(m-42,m),∵点N在反比例函数y=6x的图象上,所以N(6m,m),MN=xN-xM=6m-m-42=4或MN=xM-xN=m-42-6m=4,∵m0,∴m=2或m=6+43.▶题型二反比例函数与不等式【例3】如图,一次函数y=-x+4与反比例函数y=mx(m0,x0)的图象交于A,B两点,与x轴,y轴分别相交于C,D两点.如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-xmx的解集.【解析】当x=1时,y=3,∴A(1,3)代入y=mx,得m=3,y=3x,联立y=4-xy=3{x,得B(3,1),∴原不等式的解集为0x1或x3.췍122췍▶题型三反比例函数与数形结合比较大小【例4】如图,直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象相交于A(-3,a)和B两点.(1)求A,B两点的坐标;(2)直接写出不等式kx≤2x+4的解集.【解析】(1)A(-3,-2),B(1,6);(2)-3≤x0或x≥1.【例5】如图,双曲线y=kx(k0)与直线y=-12x+4相交于A,B两点.(1)当k=6时,求点A,B的坐标;(2)在双曲线y=kx(k0)的同一支上有三点C(x1,y1),D(x2,y2),P(x1+x22,y0),请你借助图象,直接写出y0与y1+y22的大小关系;(3)点M(x1,y1),N(x2,y2)是双曲线y=6x(x0)上任意两点,s=y1+y22,t=12x1+x2,试比较s与t的大小.备用图【解析】(1)A(2,3),B(6,1);(2)当x10时,y0y1+y22;当x10时,y0y1+y22.(3)设线段MN的中点为Q,则点Q的坐标为(x1+x22,y1+y22),过点Q作QR∥y轴交双曲线于点R,则点R的坐标为(x1+x22,12x1+x2),观察图象可知y1+y2212x1+x2,∴st.【例6】当1≤x≤4时,直线y=-2x+b与双曲线y=4x只有一个公共点,则b的取值范围是b=42或6b≤9.【解析】①当直线y=-2x+b过点(1,4)时,-2+b=4,b=6;②当直线y=-2x+b过点(4,1)时,-8+b=1,b=9;③当直线y=-2x+b与y=4x相切时,联立4x=-2x+b,得2x2-bx+4=0,Δ=b2-4×2×4=0,∴b1=42,b2=-42(舍),由图象可知,b=42或6b≤9.九年级数学大培优췍123췍针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线AB:y1=x+m与双曲线C:y2=kx相交于A(2,5),B两点.(1)求点B的坐标;(1)当y1y2时,x的取值范围是;(2)当x2时,y2的取值范围是.解:(1)B(-5,-2);(2)x2或-5x0;(3)y20或y25.2.如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=kx(k为常数,且k≠0)的图象都经过点A(m,2).(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x0时,比较y1和y2的大小;(3)直接写出不等式4x-2≤x+1的解集.解:(1)将A(m,2)代入y1=x+1得m=1,∴A(1,2),将A(1,2)代入y2=kx,得k=2,∴y2=2x;(2)当0x1时,y1y2;当x=1时,y1=y2;当x1,y1y