(完整版)高等数学下册期末测试题含答案

综合测试题(下册)A卷一、填空题（每空4分，共20分）1、曲线cos,sin,tan2txtytz在点（0，1，1）处的一个切向量与OX轴正向夹角为锐角，则此向量与OZ轴正向的夹角是_________________.2、设:1,01Dxy，则3()Dxyyd=_________.3、设2222:xyza，则曲面积分222()xyzds=__________.4、周期为2的函数()fx，它在一个周期上的表达式为10()10xfxx，设它的傅立叶级数的和函数为()Sx，则5()2S=.5、微分方程xdyyedx的通解为______________.二、选择题（每题4分，共20分）1、函数(,)fxy在00(,)xy点可微是函数(,)fxy在00(,)xy点连续且可导的[](A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)无关条件2、设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0xyzRzxyzRxyz，则[](A)124xdvxdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv3、设L为221xy一周，则2Lxds[](A)等于0(B)等于(C)等于2(D)等于14、如果幂级数0nnncx和11nnnncx的收敛半径分别是1R和2R，则1R与2R的大小关系是[](A)1R大于2R(B)1R小于2R(C)1R等于2R(D)不能确定5、微分方程256xyyyxe的特解形式是[](A)2xAeBxC(B)2()xAxBe(C)22()xxAxBe(D)2()xxAxBe三、解答题1、（11分）函数(,)zzxy由方程(,)0zzFxyyx所确定，其中F具有一阶偏导数，计算xzxyxy2、（9分）计算曲线积分22(23)(2)Lxyxydxxyxydy，其中L为圆周222xy的顺时针方向3、（12分）在曲面2224zxy上求一点，使它到平面231xyz的距离最短4、（9分）计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中是曲面221zxy在xoy面上方部分的上侧5、（10分）求幂级数111(1)nnnnx的收敛区间与和函数()Sx6、（9分）求微分方程4cosyyxx的通解.综合测试题(下册)A卷答案一、填空题1、342、233、44a4、15、()xyexC二、选择题1、A2、C3、B4、C5、D三、解答题1、解：1212122211(),(),()()xyzzzFFFFFFFFFxyyx由隐函数计算公式得22112()()yzFxFzxxxFyF21212()()xzFyFzyyxFyF则22211212()()()yzFxFxzFyFxzxyzxyxyxFyF2、解：由格林公式原式=22(13)Dyxdxdy=22200(2)drrdr=242012()24rr.3、解：设曲面上(,,)xyz点到平面距离为d，则2214(231)dxyz且22224zxy即222420xyz令2222(231)(42)Fxyzxyz222(231)204(231)806(231)2024xyzFxyzxFxyzxFxyzxzxy得唯一解216,,141414xyz.由实际问题知最小值存在，即为点216(,,)141414.4、解：补上一块221:0,1zxy取下侧，且10xdydzydzdxzdxdy由高斯公式原式=222213303(1)2xydxdydzxydxdy.其中是由1,所围立体.5、解：1limlim11nnnnanRan，在1x时，级数发散.则收敛区间为(1,1).令111()(1)nnnSxnx则11110011()(1)(1)1xnnnnnnxSxdxnxdxxx21()()1(1)xSxxx.6、解：特征方程240r，解得特征根2ri.对应的齐次方程的通解12cos2sin2YCxCx.因为0,1,ii不是特征根方程的特解形式为*()cos()sinyaxbxcxdx将其代入原方程解得12,0,0,39abcd.所以*12cossin39yxxx,方程的通解1212cos2sin2cossin39YCxCxxxx.综合测试题（下册）B卷一、填空题（每题3分，总计18分）1、函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a＝______.2、若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为______________________.3、二重积分dxeydyyx1103的值为______________.4、设()fx是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]的定义为2,10(),01xfxxx，则()fx的傅里叶级数在1x收敛于.5、级数1nnnx的和函数为.6、微分方程2yxyy的通解为_____________________.二、选择题（每题3分，总计15分）1、),(00yxfx和),(00yxfy存在是函数),(yxf在点),(00yx连续的[](A)必要非充分的条件；(B)充分非必要的条件；(C)充分且必要的条件；(D)即非充分又非必要的条件.2、设)ln(222zyxu，则)(ugraddiv＝[](A)2221zyx；(B)2222zyx；(C)2222)(1zyx；(D)2222)(2zyx3、设D是xoy面上以)1,1(),1,1(),1,1(为顶点的三角形区域，1D是D中在第一象限的部分，则积分Ddyxyx)sincos(33＝[](A)dyxD1sincos23；(B)132Dydx；(C)1)sincos(433Ddyxyx；(D)04、设为曲面)0(222RRyx上的10z部分，则dSyxeyx)sin(2222＝[](A)0；(B)2sinReRR；(C)R4；(D)2sinRe2RR5、设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为[](A)xxeCeCx221；(B)xxeCeCxC2321；(C))()(221xxxexCeeCx；(D))()(2221xeCeeCxxx三、计算题（每题7分，总计28分）1、已知22),,(zxyzyxf及点)1,1,2(A、)1,1,3(B，求函数),,(zyxf在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值.2、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxz2.3、将函数223)(xxxf展开成x的幂级数，并指出收敛域.4、计算222Ldsxyz，其中L是螺旋线tztytx,sin8,cos8对应20t的弧段.四、计算题（每题8分，总计32分）1、计算dvz，其中由不等式22yxz及41222zyx所确定.2、计算2222)(zyxdxdyazaxdydz，其中为下半球面222yxaz的下侧，a为大于零的常数.3、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy.4、对0p，讨论级数11)1(nnnpn的敛散性.综合测试题（下册）B卷答案一、填空题1、-5；2、)2,2,1(；3、)1(611e；4、21xx；5、Cyyx二、选择题1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ三、计算题1、解：由条件得zzfxyfyxf2,2,2}cos,cos,{cos}32,32,31{}2,2,1{0ABAB32cos,32cos,31cos从而)1,1,2(coscoscosAzfyfxflf=310点A的梯度方向是{2,2,2}{2,4,2}AAgradfyxzl所以方向导数的最大值是6224242222lf2、解：2121,xffyzyffxz2221211222211211221212)()()(fxyffyxffxffyxfffyfyyfyffyxzyyxz3、解：2311111()212121/2fxxxxxxx10001(1)(1)1222nnnnnnnnnxxx收敛域为)1,1(.4、解：dtdtzyxdsttt65222220222220656565arctan8888Ldsdttxyzt四、计算题1、解：222234400101cossin2sincoszdvddrrdrdrdr24401115sin22248dr2、解：取xoy为xoy面上的圆盘222ayx，方向取上侧，则2222222222322002()1()1()()1(23)122cossin33xoyxoyxyDaaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyaxyzaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyazadvadxdyaddrrdaaaaa43443021114cossin22aadrdraaaaa.3、解：由条件知)(xyy满足1)0(,1)0(yy.由特征方程2,1023212rrrr,对应齐次方程的通解xxeCeCY221,设特解为xAxey*，其中A为待定常数，代入方程，得xxeyA22*,从而得通解xxxxeeCeCy2221,代入初始条件得0,121CC.最后得xexxy)21()(.4、解：当1p时,1111(1)1nnnnnnpnp11211limlimlim111nnnnnnnunpnunppnp,所以原级数绝对收敛.当01p时,设11qp,11111(1)nnnnnnqnpn,11ln11limlimlim01xnxnxnxxqqqqqnx,所以原级数发散.