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习题1111答案1.设A,B,C是三个集合，证明：(1)()()ABCABC=∪∪∪∪；(2)()()()ABCABAC=∩∪∩∪∩．证明(1)(){}ABCx|xABxC=∈∈∪∪∪或{}x|xAxBxC=∈∈∈或或{}x|xAxCB=∈∈∪或()ABC=∪∪.(2)()xABC∀∈∩∪，有xA∈且xBC∈∪．若xB∈，则xAB∈∩；若xC∈，则xAC∈∩，从而()()xABAC∈∩∪∩，即()()()ABCABAC⊆∩∪∩∪∩.又因为()ABABC⊆∩∩∪，()ACABC⊆∩∩∪，所以()()()ABACABC⊆∩∪∩∩∪，因此()()()ABCABAC=∩∪∩∪∩．2.检验下列集合对于所给定的线性运算是否构成ℝ上的线性空间：(1)所有n阶实对称矩阵的集合，按矩阵的加法和数乘；(2)22d()0,()dxxtxxtt⎧⎫⎪⎪−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭为实函数，按通常的函数加法和数乘；(3){}10[0,1]()d0ffxx→=∫::::ℝ，按通常的函数加法和数乘；(4)全体奇函数的集合，按通常的函数加法和数乘；(5)在2ℝ上定义如下的加法⊕和数乘::::�TTT1212112211(,)(,)(,)xxyyxyxyxy⊕=+++，TT212121(1)(,),2xxxxxλλλλλ−⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠�．解(1)构成线性空间．(2)构成线性空间(根据求导运算的性质)．(3)构成线性空间(根据积分运算的性质)．(4)不构成线性空间．因为零函数不是奇函数，所以不存在零元素．(5)不构成线性空间，因为不存在负元素．3.设X是数域Å上的线性空间，试证：X的零元素是惟一的；X中每个元素的负元素也是惟一的．证明假设1θ,2θ均为X的零元素，由公理(3)可知121θθθ+=，122θθθ+=，则12θθ=，因此X的零元素是惟一的．xX∀∈，若12,yyx均为的负元素，由公理(4)可知10xy+=，20xy+=，则11122200yyyxyyy=+=++=+=，因此X中每个元素的负元素也是惟一的．4.证明线性空间X的任何两个子空间的交是X的子空间．试举例说明X的两个子空间的并不一定是X的子空间．证明设1Y，2Y均为线性空间X的子空间，显然10Y∈，20Y∈，则12YY≠∅∩．12,xyYY∀∈∩，∀∈λÅ，有1,xyY∈，且2,xyY∈，则1xyY+∈，2xyY+∈1xY∈λ，2xY∈λ，即12xyYY+∈∩，12xYY∈∩λ，因此12YY∩为X子空间．在向量空间2ℝ中，T{(0)|}Xx,x=∈ℝ，T{(0)|}Y,yy=∈ℝ均为2ℝ上的线性子空间，但XY∪对加法运算不封闭，故XY∪不是2ℝ上的线性子空间．5.设nS⊆ℝ为凸集，mn×∈AAAAℝ，证明{}S∈AxxAxxAxxAxx是凸集．证明12,{}S∀∈∈yyAxxyyAxxyyAxxyyAxx，121122,,s.t.,S∃∈==xxyAxyAxxxyAxyAxxxyAxyAxxxyAxyAx，由于S为凸集，因此[0,1]∀∈λ，有12(1)Sλλ+−∈xxxxxxxx，从而1212(1)(1)λλλλ+−=+−yyAxAxyyAxAxyyAxAxyyAxAx12((1)){}Sλλ=+−∈∈AxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxx，因此{}S∈AxxAxxAxxAxx为凸集．6.设mn×∈AAAAℝ，m∈bbbbℝ，证明{,}n∈=≥xAxbxxAxbxxAxbxxAxbx0000ℝ是凸集．证明记{,}nK=∈=≥xAxbxxAxbxxAxbxxAxbx0000ℝ，则12,K∀∈xxxxxxxx，[0,1]∀∈λ，有1212((1))(1)(1)λλλλλλ+−=+−=−AxxAxAxb+b=bAxxAxAxb+b=bAxxAxAxb+b=bAxxAxAxb+b=b，12(1)λλ+−≥xxxxxxxx0000，即12(1)Kλλ+−∈xxxxxxxx，从而K是凸集．7.设X是定义在ℝ上的全体实函数构成的线性空间，计算下列集合所生成的子空间的基和维数：(1){1,e,e}()axbxxab≠；(2)2{1,cos2,sin}xx．解(1)当0a≠时，显然{1,e,e}axbxx是{1,e,e}axbxx所生成的X的线性子空间上一个线性无关集，从而{1,e,e}axbxx为其一组基，因此该线性子空间的维数为3；当0a=时，{1,e}bxx为此该线性子空间的一组基，该该线性子空间的维数为2．(2)因21cos22sinxx=+，且2cos2,2sinxx线性无关，故2{cos2,sin}xx为2{1,cos2,sin}xx所生成的X的子空间的一组基，其维数为2．8.任意取定22×ℝ中的非零元素0abcd⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AAAA，定义映射220,T×=∀∈XAXXXAXXXAXXXAXXℝ．(1)证明T是22×ℝ上的线性变换；(2)求T关于基10010000,,,00001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭的矩阵．解(1)令22{}KT×=∈XXXXXXXXℝ|，则K为22×ℝ的线性子空间，T为22K×→ℝ上的映射，且有2212,×∀∈XXXXXXXXℝ，[0,1]∀∈λ，有12012()()T+=+XXAXXXXAXXXXAXXXXAXX010212TT=+=+AXAXXXAXAXXXAXAXXXAXAXXX，101011()===TTXAXAXXXAXAXXXAXAXXXAXAXXλλλλ，因此T为22×ℝ上的线性变换．(2)记1112212210010000,,,00001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦EEEEEEEEEEEEEEEE，则110110100000010aTacc⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦EAEEAEEAEEAE．120120010000001aTacc⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦EAEEAEEAEEAE，210210100000010bTbdd⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦EAEEAEEAEEAE，220220010000001bTbdd⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦EAEEAEEAEEAE，即11122122,,,TTTTEEEEEEEEEEEEEEEE关于基11122122{,,,}EEEEEEEEEEEEEEEE的坐标依次为0000,,,0000ababcdcd⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因此T关于基11122122{,,,}EEEEEEEEEEEEEEEE的矩阵为00000000ababcdcd⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．9.设T是三维线性空间X上的线性变换，它关于基123{,,}eee的矩阵是123103215⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦AAAA，令11be=，212bee=+，3123beee=++，证明123{,,}bbb是线性空间X的基，并求T关于基123{,,}bbb的矩阵．证明注意到123123111(,,)(,,)011,001bbbeee⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且1110110001≠，因此123{,,}bbb为线性空间X的基．于是123123123111111(,,)(,,)011(,,)011001001TbbbTeeeeee⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AAAA1123111123111(,,)011103011001215001bbb−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦123244(,,)346238bbb⎡⎤⎢⎥=−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因此T关于基123{,,}bbb的矩阵为244346238⎡⎤⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦．10.设X和Y是同一个数域Å上的两个线性空间，若TXY→::::是线性算子，且T是满射，证明：(1)逆映射1TYX−→::::存在的充要条件是00Txx=⇒=；(2)若逆映射1T−存在，则1T−也是线性算子．证明(1)由于T是满射，则()TY=R．必要性．假设T的逆映射1TYX−→::::存在，则T为单射．若0Tx=，则由00T=以及T为单射可知0x=．充分性．12,xxX∀∈，若12xx≠，则120xx−≠，从而由假设知12()0Txx−≠，即12TxTx≠，因此T为单射，则T的逆映射1TYX−→::::存在．(2)12,yyY∀∈，由于T是满射，121122,,s.t.,xxXTxyTxy∃∈==，则111111212121212()()()TyyTTxTxTTxxxxTyTy−−−−−+=+=+=+=+，111111111()()()TyTTxTTxxTy−−−−====λλλλλ，∀∈λÅ，因此，1T−也是线性算子．11.设T是线性空间X到线性空间Y上的线性同构映射，证明：X的子集12{,,,}kxxx…线性无关，当且仅当Y的子集12{,,,}kTxTxTx…线性无关．证明由同构映射的定义可知，T是X到Y上的双射．Y的子集12{,,,}kTxTxTx…线性相关，当且仅当存在一组不全为零的数12,,,k…λλλ，使得11221122()0kkkkTxxxTxTxTxλλλλλλ+++=+++=⋯⋯，由于T是单射，因此这又等价于11220kkxxx+++=⋯λλλ，即X的子集12{,,,}kxxx…线性相关．这就证明了12{,,,}kxxx…线性无关当且仅当12{,,,}kTxTxTx…线性无关．12.设T4(1,i,1i,2)=−+∈xxxxℂ，求1||||xxxx，2||||xxxx和||||∞xxxx，这三种范数已在例1.15中定义．解由例1.15中的定义可知11i1i242=+−+++=+xxxx||||||||；222221(i)(1i)222=+−+++=xxxx||||；14max2iix∞≤≤==xxxx||||||．13.设101210i11i−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦AAAA，求1||||AAAA和||||∞AAAA．这两种范数已在例1.16中定义．解由例1.16中的定义可知max{2,3,22}=22∞=++AAAA||||；1max{4,2,12}4=+=AAAA||||．14.设(,||||)nαℂi是赋范线性空间，mn×∈AAAAℂ且矩阵AAAA的秩为n，证明βα=xAxxAxxAxxAx||||||||，n∀∈xxxxℂ所定义的βi||||也是nℂ上的范数．证明只需验证范数的三条公理，,nxy∀∈ℂ，λ∀∈Å，有(1)0βα=≥xAxxAxxAxxAx||||||||，由AAAA的秩为n知0β=xxxx||||⇔=AxAxAxAx0000⇔=xxxx0000；(2)βααβλλλλ===xAxAxxxAxAxxxAxAxxxAxAxx||||||||||||||||||||；(3)()βαααββ+=+≤+=+xyAxyAxAyxyxyAxyAxAyxyxyAxyAxAyxyxyAxyAxAyxy||||||||||||||||||||||||．15.设X和Y是同一个数域Å上的两个线性空间，若线性算子TXY→::::保持范数，即xX∀∈，有Txx=||||||||，证明T是单射．证明若0Tx=，则0xTx=||||=||||，从而根据范数的非负性公理有0x=，因此T是单射．16.设||||pi和||||∞i是例1.15所定义的nℂ上的范数，证明lim||||||||,npp∞→∞=∀∈xxxxxxxxxxxxℂ．证明由例1.15所定义的nℂ上的范数，n∀∈xxxxℂ，有()1111maxnpppppiiiinxx∞=≤≤⎛⎞⎛⎞=≥=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Σxxxxxxxx||||||||||||，()11111maxnppppppiiiinxnxn∞=≤≤⎛⎞⎛⎞=≤=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Σxxxxxxxx||||||||||||，因此有1limlim()ppppn∞∞∞→∞→∞≤≤=xxxxxxxxxxxxxxxx||||||||||||||