高三数学一轮复习空间几何体的表面积和体积教案

空间几何体的表面积和体积教学目标了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2017年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；教学准备多媒体课件教学过程1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR31．辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．3．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()A．1B．12C.13D．16解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，V＝13Sh＝13×12×1×1×1＝16，故选D.2.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．33C．23D．3解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝12×2×3×3＝33.4．(必修2P36复习参考题A组T10改编)直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕两直角边旋转一周分别形成两个几何体，则其侧面积分别为________、________.答案：20πcm215πcm25．(必修2P28练习T2改编)一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm3.解析：由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r＝12×23＝3(cm)，所以V球＝43π×r3＝43π×33＝43π(cm3)．答案：43π考点一空间几何体的表面积(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1B．2C．4D．8(2)(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．15(1)如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，所以r2＝4，r＝2.(2)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22.(1)B(2)B空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.1.(1)(2016·长春调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．2＋1＋52πB．2＋1＋252πC．2＋(1＋5)πD．2＋2＋52π(2)(2016·河北省衡水中学模拟)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A．34＋65B．6＋65＋43C．6＋65＋413D．17＋65解析：(1)选A.由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即12π＋12π×5＋12×2×2＝2＋1＋52π.(2)选A.由三视图得该几何体的直观图如图，其中，ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2×12×2×5＋12×6×25＋12×6×4＝34＋65.考点二空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属于容易题．高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．(1)(2015·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2πB．13π6C.7π3D．5π2(2)(2015·高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B．17C.16D．15(1)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.(2)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15.(1)B(2)D求空间几何体体积的解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.2.(1)(2016·唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π3B．4π3C．8－2π3D．8－4π3(2)(2016·昆明统考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：(1)由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，所以V＝V正方体－V圆锥＝2×2×2－13×(π×12)×2＝8－2π3.(2)由题知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为侧视图，高为8－4＝4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝13×16×4＝643，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋643＝1603.答案：(1)C(2)1603考点三球与空间几何体的接、切问题(2016·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.C本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V外接球＝43πR3＝43π(23)3＝323π.V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．3.(2016·唐山统一考试)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．2B．1C.2D．22解析：选C.由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以x22＋x22＝1，即x＝2，则AB＝AC＝1，所以S矩形ABB1A1＝2×1＝2.方法思想——求空间几何体体积的问题(2016·唐山模拟)如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D­MNEF的体积为V2＝13S梯形MNEF·DN＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝12V三棱柱＝12×S△ABC·AA′＝12×24×8＝96.96本题给出两种求体积的方法．当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(2014·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：选C.由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC­A1B1C1＝S△ABC