拓-扑-空-间

第二章拓扑空间§2.1拓扑空间§2.2拓扑基与邻域系,邻域基§2.3度量拓扑§2.4闭集,闭包§2.5导集,内部,边界§2.6拓扑空间中的序列§2.7序拓扑§2.1拓扑空间重点：拓扑空间定义的理解难点：拓扑空间定义的理解(1)T,X;TBA,(2)如果，则TBA；TT1(3)若,则11TTAA.T即是X的一个子集族.如果满足如下条件:集),T则称是X的一个拓扑.T定义2.1.1设X是一个集合,)(XPT(表示X的幂()XP(1)X的任意有限开集族的交是开集.(3)任何开集族的并是开集.扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：,X(1)是开集(2)任意两个开集的交集是开集()XTP是X的拓扑的条件可以叙述为:(2)X的任意开集族的并是开集.中的每一个元素是拓T设T是X的一个拓扑，由于例2.1.1平庸空间是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并且我们.间中只有两个开集，即X自身和空集例2.1.2离散空间是开集.为一个离散空间,在离散空间中,X的每一个子集都},{XT是一个集合，令X设，易验证T个拓扑,称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间(X,)T)为一个平庸空间.显然在平庸空T称拓扑空间(X,设X是一个集合,令)(XPT,显然,T是X的一例2.1.3设X是一个三元素集合,{,,},Xabc我们X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些拓扑.},{1XT},},,{},{{2XbaaT},},,{},,{},{{3XcbbabT},},{{4XbT},},,{},{{5XcbaT},},,{},{},{{8XbabaT)(9XPT},},,{{7XbaT},},,{},,{},{},{{6XcbbacbT当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不同排列，我们在X上还可建立其它拓扑结构.但是,并不是X的每个子集族都是X的拓扑.例2.1.4有限补拓扑设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次提起，因此在本例中，A的补集A＇即为X－A.令}{}|)({的一个有限子集是XUXUfPT例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.A1={{a},{b},X,}A2={{a,b},{b,c},X,}不满足定义2.1.1条件(3),A1不满足定义2.1.1条件(2)A2}{}|{的一个有限子集是XUXXUfT即,XXfT(1)根据定义,此外，由于因此fXT.(2)设fBAT,，AB若或者，则BA,fBAT；假定，由DeMorgan)()()(BXAXBAX定律BXAX,以及fBAT)(BAX为有限集可知是有限集，因此.1TfAATT1fTT1(3)设,如果,则.是X的一个拓扑.先验证fT1T}{1TfAATT1如果,当时,;}{1T}{1T}{10TA当时,,取,这时0)(11AXAXAXAATT.fAT00A由于且，0AX因此是有限集，AXA1T从而是有限集，因fAATT1.此fT根据上述(1),(2),(3),是X的一个拓扑,称之为X的有fT限补拓扑,拓扑空间(X,)称为一个有限补空间.读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑,().fXTP即若X是一个有限集,那么例2.1.5可数补拓扑.设X是一个集合，令CT={UX|X-U是X的一个可数即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.{}子集}通过与例2.1.4中完全类似的作法易验是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓T证)称为一个可数补空间.扑,拓扑空间(X,CT读者自行验证，若X是一个可数集，则().CXTP否则，就称为不可比较的.当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如定义2.1.2设是集合X上的两个拓扑,如果T,'T'T或称比粗,如果'T,我们称比细,'TTTT,'TT我们称比严格细,或称比严格地粗.如果'TTT'T'T我们称拓扑与是可比较的.T或,'TT'TT,}是X显然，对于集合X来讲，粘合扑拓={X,T上最粗的拓扑，离散拓扑=P(X)是X上最细的拓扑.T与就是X的两个不可比较的拓扑.1T2T},,,{cbaX,},},,{},{{1XbaaT},},,{},{{Xcbb，那么2T间.T习题§2.1}|{nmZmAnZn2.对每一个正整数，令，证明}{}|{ZnAnT是正整数集Z+的一个拓扑.X上的两个给定拓扑.令}{},{XXXTT,证明),(TX是一个拓扑空拓扑.1.验证例2.1.5中集族是X上的拓扑.cT3.设(X,)是一个拓扑空间,是任何一个不属于X的元素,}},,{},{,,{baaX},,{cbaX(3)设，1T也是X的2T1T4.(1)设和是集合X上的两个拓扑,证明1T2T2T1T可以不是X上的拓扑，其中，是(2)举例说明1T2T是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一J}T5.设{.T拓扑包含着每个之中,在X上存在一个最粗的T个最细的拓扑空间包含于每个JTJ}T(提示:设{是X上一族拓扑,则是X上的一个拓扑).2T于和的最细的拓扑.1T}},{},{,,{cbaX2T2T找出包含和的最粗的拓扑和包含1T难点：由邻域系决定拓扑方法的证明§2.2拓扑基与邻域系,邻域基重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义构成的X的子集族称为点x的邻域系.易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么一定是x的一个邻域，此时我们称U是点x的一个开邻域.点x的所有邻域VU,则称U是点x的一个邻域.得xU是X的一个子集且满足条件:存在一个开集V使TX，如果定义2.2.1设(X,)是一个拓扑空间,xT故U,U便是x的一个邻域.只要x证明:必要性.若U是开集，则对每点xX,U即是x的一个开邻域.,充分性.若U=，显然U是开集，若U则对xU，由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集{}.xxUxUUxUUUx使得xUxU.因此，.xUxUU由定义2.1.1(3)知U是一个开集.充分必要条件是U是它的每一点在(X,)中的邻域.即T定理2.2.1拓扑空间(X,)的一个子集U是开集的T邻域系,则:证明:(1)对于任何,xX由于X是一个开集,因此X是定理2.2.2设X是一个拓扑空间,记为点xX的xU;xUUV(2)如果U,V,则xUU;x，则xU,并且如果U(1)对于任何xX,xU满足条件xUV,则存在U(4)如果xUV()i;VU()iiVy对于,有.yUVVU(3)如果U,并且,则xU;xU00,xUUxVU使得,因此00,xUVUV由定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身.此外根据.xU,因此x的一个开邻域,因此XxUUV00VU于是一个开集,因此.xU,由定义2.2.1则存在开集U0，V0(2)设,UVxUVVUx00,xUU从而有,因此.xU使得0U则存在开集,UV且U(3)设,xU由于,xVU因此V是x的开邻域.因此V.xU使得V由定义2.1.1则存在开集U(4)设,xUV是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域,即对每个,.UyyVV了X的子集族Ux,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1)证明:{|,}xUXxUU如果则TU即}|{是它的每一点的邻域UXUT拓扑空间(x,)中的邻域系.T定理2.2.3设X是一个集合,又设对于每一点xX指定X则是T},UxU,则UX|如果x-(4),令UT={唯一,xX的一个拓扑使得对于每一点xU子集族是点x在.,UxXx(i)显然T;对于任意,由条件(1),取xX,xUX,UxU显然有由条件(3)可知是点TX的邻域,因此.,xABTBA,(ii)设,如果因此,,xAxB因此xBAU必有xBAU,,由条件(2)可知,由x的任ABT意性可知.,xU由于TT1U，且1,TAUA由条件(3)有下面验证是X的一个拓扑.T，使得TU,则存在AxA1T对任意(iii)设1TT,X的一个拓扑.中的邻域系.下面证明*.xxUU(i)设,UxU由条件(4)可知存在UxV使得,UyVVy,VU且对任意有因此,TV从而,UVx且,TV由定义2.2.1可知*,UxU因此*.xxUU因此我们证明了是xAAUT1.因此，TTAA1.T*xU,X对每一点x以记点x在拓扑空间(X,)T,TV*,xUU(ii)设由定义2.2.1可知存在*.xxUU,xUU(3)可知因此从而我们证明了.*T=T*T扑空间(X,)的邻域系,然后证明是X的又一个拓扑使得对于,XxxU是点x在拓*TU(i)设,TU即是拓扑空间(X,)中的开集,又假定xU是x点在(X,*T)中的邻域系,因此由*,xxUU即子集族xU恰是点x在(X,)中的邻域系.T由条件,xVU使得*,xVU显然根据的定义T下面证明拓扑的唯一性,为此我们假定*TT,TU义有因此TT.*TxU必有,xUU然而又假定是x点在（X,）中的邻*.TT域系，由定理2.2.1的充分性可知,TU因此*.T=T综合(i)(ii)知(ii)设,TU即U是（X，）中的开集，又已证明T,xUU,Ux由定理2.2.1可知对于任意再由的定T,UxxU是x点在（X，）中的邻域系，因此对于任意T.VUxVB对每个,xUU存在使得则称xB为点显然,}|{UxUxTB,即所有包含点x的开集且满足条件：xxUBxU是x点在(X,)中的邻域系,如果T定义2.2.2设(X,)是一个拓扑空间,对每个,xXT构成的集族,是x点在(X,)中的一个邻域基.Tx在(X,)中的一个邻域基.T难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明§2.2邻域系,邻域基与拓扑基重点：由拓扑基决定拓扑的方法与应用，AUAUU满足条件:对于每个TU，存在B使得是拓扑空间X的一B的一个基，也称B则称是拓扑T个基.例2.2.1在离散拓扑空间X中,=P(X)，显然B={{x}|TB如果BT,定义2.2.3设(X,)是一个拓扑空间,TX}x就是X的一个拓扑基.T,B使得x(1)对每个xX,存在U;U(2)如果B1,B2B,x12,BB那么存在B3B使得xB3B1B2.UUU因此对每个xX，即x存在UU,使得xU，由B,U于U因此UB.扑基，则满足下列条件:BTB定理2.2.4设(X,)是一个拓扑空间,是的一个拓T,UUUB,使得X=证明(1)由于X,因此存在UT12BBUB,使得U,因此若12,xBB则存在B3U使得xB312.BBB,使X|存在U={U2.2.6中的条件(1)——(2),则T,因此存在12BBT,因此(ii)若B1,B2B,由于BT是X的唯一拓扑使得是的一个拓扑基.此得U=U}BT定理2.2.5设X是一个集合,BP(X),且满足定理B时我们称是由基生成的拓扑.TB证明:先验证是X的一个拓扑.TT由条TAA(i)由于B且,因此;又对,xXXT.B{Ux|xX}，因此xUUxB2112.ABUUBx显然U1U2=，且12ABUU2UB,使得U2=U2，因此12UU(),ABU2使得U1,B设xU1U2,则存在AxAB1UB，使得U1=，则存在U1(ii)设U1，U2T1,U存在,xxXUX,显然X=xUx使得件(1):存在xUB且U2,又由于A，BB由条件(2)可知存在