华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第5章-统计量及其分布

第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第1页第五章统计量及其分布§5.1总体与样本§5.2样本数据的整理与显示§5.3统计量及其分布§5.4三大抽样分布§5.5充分统计量第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第2页例5.0.1某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一个不合格品率p。由此，若从该批产品中随机抽取一件，用x表示这一批产品的不合格数，不难看出x服从一个二点分布b(1,p)，但分布中的参数p是不知道的。一些问题：第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第3页•p的大小如何；•p大概落在什么范围内；•能否认为p满足设定要求（如p0.05）。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第4页§5.1总体与个体总体的三层含义：•研究对象的全体；•数据；•分布第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第5页例5.1.1考察某厂的产品质量，以0记合格品，以1记不合格品，则总体={该厂生产的全部合格品与不合格品}={由0或1组成的一堆数}若以p表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：X01P1pp第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第6页比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第7页例5.1.2在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产SONY彩电，原因何在？1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报告指出N(m,(5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓度服从(m5,m+5)上的均匀分布。原因在于总体的差异上！第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第8页图5.1.1SONY彩电彩色浓度分布图第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第9页等级IIIIIIIV美产33.333.333.30日产68.327.14.30.3表5.1.1各等级彩电的比例(%)第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第10页5.1.2样本样品、样本、样本量:样本具有两重性•一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母X1,X2,…,Xn表示；•另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小写字母x1,x2,…,xn表示是恰当的。简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般均用x1,x2,…xn表示，应能从上下文中加以区别。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第11页例5.1.3啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。这样的样本称为完全样本。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第12页例5.1.4考察某厂生产的某种电子元件的寿命，选了100只进行寿命试验，得到如下数据：第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第13页表5.1.2100只元件的寿命数据表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本。寿命范围元件数寿命范围元件数寿命范围元件数(024]4(192216]6(384408]4(2448]8(216240]3(408432]4(4872]6(240264]3(432456]1(7296]5(264288]5(456480]2(96120]3(288312]5(480504]2(120144]4(312336]3(504528]3(144168]5(336360]5(528552]1(168192]4(360184]155213第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第14页独立性:样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值--x1,x2,…,xn相互独立。要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地代表总体。通常有如下两个要求：随机性:总体中每一个个体都有同等机会被选入样本--xi与总体X有相同的分布。样本的要求：简单随机样本第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第15页设总体X具有分布函数F(x),x1,x2,…,xn为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，也简称样本。于是，样本x1,x2,…,xn可以看成是独立同分布(iid)的随机变量，其共同分布即为总体分布。11(,...,)().nniiFxxFx第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第16页总体分为有限总体与无限总体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无意的人为干扰。对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到满足。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第17页例5.1.5设有一批产品共N个，需要进行抽样检验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，则而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为P(x2=1|x1=1)=(Np1)/(N1)P(x2=1|x1=0)=(Np)(N1)第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第18页显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是，当N很大时，我们可以看到上述两种情形的概率都近似等于p。所以当N很大，而n不大（一个经验法则是nN0.1）时可以把该样本近似地看成简单随机样本。思考：若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联合）密度函数是什么？第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第19页5.2.1经验分布函数§5.2样本数据的整理与显示设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为x(1),x(2),…,x(n)，则称x(1),x(2),…,x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数(1)()(1)()0,()/,,1,2,...,11,kknnxxFxknxxxknxx第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第20页则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足Fn()=0和Fn()=1由此可见，Fn(x)是一个分布函数，并称Fn(x)为经验分布函数。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第21页例5.2.1某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）351347355344351x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第22页其经验分布函数为由伯努里大数定律：只要n相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x)。0，x3440.2，344x347Fn(x)=0.4，347x3510.8，344x3471，x355第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第23页更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。定理5.2.1（格里纹科定理）设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本,Fn(x)是其经验分布函数，当n时，有PsupFn(x)F(x)0=1格里纹科定理表明：当n相当大时，经验分布函数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由就在于此。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第24页1601961641481701751781661811621611681661621721561701571621545.2.2频数--频率分布表样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。例5.2.2为研究某厂工人生产某种产品的能力，我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品的数量，数据如下第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第25页(1)对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通常在5~20个，对容量较小的样本;(2)确定每组组距：近似公式为组距d=(最大观测值最小观测值)/组数;(3)确定每组组限：各组区间端点为a0,a1=a0+d,a2=a0+2d,…,ak=a0+kd,形成如下的分组区间(a0,a1],(a1,a2],…,(ak-1,ak]对这20个数据(样本)进行整理,具体步骤如下:其中a0略小于最小观测值,ak略大于最大观测值.第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第26页(4)统计样本数据落入每个区间的个数——频数，并列出其频数频率分布表。表5.2.1例5.2.2的频数频率分布表组序分组区间组中值频数频率累计频率(%)1(147，157]15240.20202(157，167]16280.40603(167，177]17250.25854(177，187]18220.10955(187，197]19210.05100合计201第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第27页5.2.3样本数据的图形显示一、直方图直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第28页把每一个数值分为两部分，前面一部分（百位和十位）称为茎，后面部分（个位）称为叶，然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎，右侧写上叶，就形成了茎叶图。如：二、茎叶图数值分开茎和叶11211|211和2第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第29页例5.2.3某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分。下面是50位应聘人员的测试成绩（已经过排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我们用这批数据给出一个茎叶图，见下页。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第30页图5.2.3测试成绩的茎叶图64770246698012235689112333566779100024667881122468991223568133第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第31页在要比较两组样本时，可画出它们的背靠背的茎叶图。甲车间62056乙车间87775554211667788877664421722455556668898766532801133344466778732109023585300107注意：茎叶图保留数据中全部信息。当样本量较大，数据很分散，横跨二、三个数量级时，茎叶图并不适用。第五章统计量及其分布华东师范大学9November2020第32页5.3.1统计量与抽样分布§5.3