第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析

第三讲层合板的刚度与强度层合板层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在一起成为整体的结构元件层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单层板构成。主要内容层合板的表示方法经典层合板理论单层板的刚度层合板的刚度分析层合板的强度分析层合板的几何标志层合板的表示方法[03/902/45/-453]S层合板的表示方法一般层合板[0/45/90/-45/0]对称层合板偶数层[0/90]S奇数层[0/45/90]S具有连续重复铺层[02/90]S具有连续正负铺层[0/±45/90]有多个子层合板构成的层合板[0/90]2织物构成的层合板[(±45)/(0,90)]混杂纤维层合板[0C/45K/90G]夹层板[0/90/C5]S层合板分类-按单层板相对于中面的位置对称层合板：铺设角相同材料相同非对称层合板反对称层合板一般层合板夹芯层合板z-z=z-z=ijijQQz-z=-z-z=ijijQQ经典层合板理论经典层合板理论的基本假设层合板的应力和应变关系层合板的合力及合力矩层合板的限制条件层合板为薄板层合板各单层粘接良好，变形连续整个层合板等厚度经典层合板的基本假设直法线假设：等法线假设：平面应力假设：忽略正应力假设：0,0yzzx0zxzyz0=0=0z；；0z经典层合板理论由N层任意铺设的单层板构成取XOY坐标面与中面重合板厚为t经典层合板理论板中任意一点的位移分量和可表达为：,uvw(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz经典层合板理论由直法线和等法线假设：0,0,0yzzxz000zzxzywzuwzxvwzy经典层合板理论将上面三式分别对积分得到：式中的表示中面的位移分量，并且只是坐标的函数，其中为挠度函数z00(,)(,)(,)(,)(,)wwxywxyuuxyzxwxyvvxyzy00,,uvw,xyw经典层合板理论将上面得到的表达式代入几何方程得到：202202200()2xyxyuuwzxxxvvwzyyyuvuvwzyxyxxy经典层合板理论上式可以用矩阵形式来表达：等号右边第一项表示层合板中面应变等号右边第二项表示层合板中面曲率000xxxyyyxyxyxykzkk经典层合板理论中面的应变为：中面的曲率为：其中为中面扭曲率0000000xyxyuxvyuvyaaaax222222xyxywxkwkykwyaxaxyk经典层合板理论第层应力为：虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但由于层合板每层的可以不同，故应力变化一般不是线性的k011121601222260162666xxxyyyxyxykxykkQQQQQQzkQQQkijQ经典层合板理论经典层合板理论-层合板的合力层合板上的合力及合力矩（都是指单位长度上的力或力矩）,,xyxyNNN,,xyxyMMM经典层合板理论合力及合力矩的定义式为：11221221kkkkxxxNhzyyyhzkxyxyxyxxxNhzyyyhzkxyxyxyNNdzdzNMMzdzzdzM经典层合板理论上式中的可由下图确定：1,kkzz经典层合板理论由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因此可以从每一层的积分号中提出：110111216012222610162666011121601222261162666kkkkxxxNzzyyyzzkxyxyxyxxNyykxyNkQQQNQQQdzkzdzQQQNkMQQQMQQQQQQM1120kkkkxzzyzzxyxykzdzkzdzk经典层合板理论注意到和不是的函数，而是中面值，因此可以从求和记号中移出得到：000,,,,xyxyxykkxykz011121611121601222261222260162666162666011121601222260162666xxxyyyxyxyxyxxyyxyxyNkAAABBBNAAABBBkAAABBBNkMBBBMBBBBBBM111216122226162666xyxykDDDDDDkDDDk经典层合板理论式中：其中为第层的厚度，是第层中心的坐标值111221113332111()()()1()()()21()()()()312NNijijkkkijkkkkNNijijkkkijkkkkkNNkijijkkkijkkkkkAQzzQtBQzzQtztDQzzQtz1kkktzzkk11111()()22kkkkkkzzzzzzz经典层合板理论上式中的依次称为拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度由于耦合刚度的存在，层合板面内内力会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此现象被称为拉弯耦合效应,,ijijijABDijB经典层合板理论层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：式中的为层合板的中面应变列阵，为曲率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层合板的物理方程0NABMBDk0k经典层合板理论对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：式中：0TABNBDMk1111111111()()()()AAABDBABBABABDBABDDBAB经典层合板理论上式中的子矩阵分别称为面内柔度矩阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵与矩阵是相互转置的，但未必对称一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦合刚度阵的存在所产生的耦合效应引起，即拉弯耦合，此外，由于的存在产生拉剪耦合，由于的存在产生弯扭耦合,,ABDBTBB1626,AA1626,DD2.单层板的刚度各向同性单层板特殊正交各向异性单层板一般正交各向异性单层板单层板的刚度（1）各向同性单层板各向同性材料有两个独立的弹性常数，各方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松比分别为：根据折减刚度矩阵计算公式,E11112211222111212211221222122166121111EQEEQEQQG单层板的刚度将弹性模量和泊松比代入上式中可得：设板厚为，代入下式：11221266162622,,,0112(1)EEEQQQQQQt111221113332111()()()1()()()21()()()()312NNijijkkkijkkkkNNijijkkkijkkkkkNNkijijkkkijkkkkkAQzzQtBQzzQtztDQzzQtz单层板的刚度得：211221112221212666616261626,112(1),0,11,220,0ijaaaaaaaaaaaaaEtEtAAADDDAaaaaaaABDDAADDAADaaaaaaaaaaD单层板的刚度可得各向同性单层板的内力-应变关系：显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应00203200110020012(1)1002xxyyxyxyxxyyxyxyNAAEtNAAANAMkDDEtMDDkDMkaDaaaaa单层板的刚度（2）特殊正交各向异性单层板这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折减刚度矩阵中元素的计算结果为：11222111112122112211221222162666121221,111,0,1EEEQQQQGaEQQ单层板的刚度计算拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度得：31111111131212121232222222236666666616261626,12,12,0,12,120,0ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAQtDQtAQtDQtAQtBDQtAQtDQtAADDaaaaaa单层板的刚度内力-应变关系为：这种单层板也无拉弯耦合，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都各增加到4个0111201222066111212226600000000xxyyxyxyxxyyxyxyNAANAAANMkDDMDDkDMk单层板的刚度（3）一般正交各向异性单层板这种单层板的材料主向与自然坐标轴不一致，拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度为：3,0,12ijijijijijaaaBaAQtDQt单层板的刚度因此内力-应变关系为：这种单层板也不发生拉弯耦合，但是发生拉剪耦合和弯扭耦合。虽然刚度矩阵是满秩的，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都仍然是4个011121601222260162666111216122226162666xxyyxyxyxxyyxyxyNAAANAAAAAANMkDDDMDDDkDDDMk3.层合板的刚度分析对称层合板反对称层合板不对称层合板双向铺设层合板对称层合板的刚度分析在几何和材料性能上都对称于中面的层合板称为对称层合板这种层合板的及具有对称性。而耦合刚度的计算公式为：因此对于对称层合板，耦合刚度矩阵为零()ijkQkt221111()()()2NNijijkkkijkkkkkBQzzQtzijB对称层合板的刚度分析由于耦合刚度矩阵为零，可知对称层合板的合力及合力矩为：011121601222260162666111216122226162666xxyyxyxyxxyyxyxyNAAANAAAAAANMkDDDMDDDkDDDMk