第一部分5-IV和GMM

1第五章IV和GMM一、IV估计量1、内生解释变量（1）什么是内生性回顾经典假设：对于回归模型，YXu，OLS的基本假设：(见陈强，书P15)严格外生性假定可以推出：Cov[X,u]=0。即：解释变量X与随机项不相关；定义：内生解释变量。——如果X与随机项u之间存在相关性，称X为内生解释变量。（2）内生性解释变量产生的原因①遗漏了重要的解释变量–True:012wageeduabilu–Do:01wageeduu②观测误差–True:**X=X+e(X为真实值）—Do:01011Y=()()XeuXueX与1()ue是否相关？比如吸烟与健康的调查中。不吸烟者的误差为零。吸烟者对吸烟次数的报告有较大的偏差2③滞后被解释变量t0121Y=ttXYu如果时间序列中有自相关的话④联立方程中（说明见陈强书：第十章，P120-121）（3）、内生性的后果①参数估计是有偏的，有时甚至（同期相关）是不一致的。难以通过扩大样本改善估计性质。内生性问题'1''1''1''1''1'Cov(X,u)0ˆ)ˆ()[)()][))][))][))]XXXYEEXXXXuEXXXXEXXXuEXXXu参数估计：（（（（（（因为'EX0u，所以OLS估计是有偏的）②此时参数估计的偏差不仅仅存在于内生解释变量的参数上，而是所有的参数估计值都会受到影响32、工具变量对内生变量的解决思路•增加遗漏的变量，或者其代理变量•面板数据•工具变量法（Instrumentvariables）（1）工具变量的定义：工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。（2）工具变量要满足的条件：①工具变量相关性：工具变量与所替代的随机解释变量高度相关；cov(,)0ZX②工具变量外生性：工具变量与随机误差项不相关；cov(,)0Zu另外：所找的工具变量要尽量与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。3、IV估计量和TSLS（1）思路X的变动中，一部分与u无关，一部分与u相关。用工具变量抓住X变动中与u无关的部分。忽略那些与u相关的X的变动（正是这部4分变动导致了ＯＬＳ估计的有偏）（2）一个工具变量的情形01YXu，X为内生变量，找到一个工具变量Z第一阶段：做回归011XZvX被分解为两个部分：①与u无关的部分：由于Z与u无关，因此线性部分011Z是X中没有问题的部分；②与u有关的部分v：忽略v第二阶段：做回归01ˆYXu得到TSLS的估计量（3）多个工具变量的情形对于模型:01YXu，假设Ｘ为内生变量，若存在两个工具变量z1和z2，将得到两个IV估计量。问题：如何将这两个IV估计量合并起来？第一阶段：01122XZZ,得到x的拟合值ˆX，ˆX视为x的工具变量第二阶段：01ˆYXu。5*****************说明***************************************TSLS软件会直接执行两个步骤，无需分开自行求解。自行求解时残差序列是错误的**工具变量个数一定不能少于内生变量个数。如果工具变量个数恰好等于内生变量个数，称为系数恰好识别如果工具变量个数大于内生变量个数，称为系数过度识别**可以把外生变量，看做自己的工具变量。也就是此时可见OLS是IV估计的特例（4）矩阵的视角看IV估计（IV估计可以解决问题吗？）'''ˆYXeZYZXZe因为工具变量外生性，所以'0Ze'''''1ˆˆˆ()IVZYZXZeZXZXZY*IV估计不是用Z代替X，而只是分离出与u不相关的部分，只是部分的代替（5）IV估计的性质在大样本下，IV估计是一致的，64、工具变量有效性的检验（1）假设1：工具变量相关性①什么是弱工具变量几乎不能解释Ｘ变动的工具变量称为弱工具变量②为什么若工具变量是个问题？如果工具变量较弱，TSLS不再是可靠的。事实上，如果工具变量较弱，TSLS估计严重偏向OLS估计的方向（有偏）以一元为例，说明为什么弱工具变量是一个问题的OLS估计：对于01YXu,计算011cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)XYXXuXXXuOLScov(,)ˆcov(,)XYXXIV估计：011cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)ZYZXuZXZucov(,)ˆcov(,)IVZYZX如果是弱工具变量，Ｘ与Ｚ相关性很小，甚至为０，则导致结果严重偏离。7③弱工具变量检验的经验法则问题：工具变量与X的相关性多大才能使估计效果好？思路：TSLS的第一阶段，衡量了Ｘ与Z的关系。第一阶段用F统计量检验工具变量系数都为0的假设。F统计量度量了工具变量包含的信息，包含的信息越多，则F统计量的期望值越大。方法：利用F统计量检验TSLS第一阶段中工具变量系数都为0的假设。经验法则是：如果F统计量超过10，无需担心弱工具变量。（此时TSLS的偏差大约只有OLS偏差的1/9左右）④如果存在弱工具变量怎么办？**如果有很多工具变量，其中一些是弱工具变量，在TSLS分析中忽略弱工具变量而选用相关性最强的工具变量子集**若系数恰好识别，（工具变量数与内生变量数一样）,此时要么：寻找其他较强的工具变量要么：利用弱工具变量进行实证分析，但不要用TSLS，而采用LIML：有线信息最大似然估计。LIML的估计量比TSLS更靠近参数的真实值。8（2）假设2：工具变量的外生性①能否从统计上检验工具变量的外生性？能也不能。***当系数恰好识别时（工具变量个数m=内生变量个数k），无法检验。评估工具变量外生的唯一方法是：利用专家观点和你对于待解决问题的认识***当系数过度识别时（工具变量数量m内生变量个数k），可以检验。原因：（为何此时可以检验工具变量外生性的原因：）假设只有一个内生变量，但有两个工具变量。如果两个工具变量都是外生的，则两个估计量（都是一致的）比较接近。如果两个估计量非常不同，可以得到一个或者两个工具变量都不是外生的。②过度识别约束检验***为什么要进行过度识别约束检验：由于工具变量多余内生变量，需要检验这些工具变量是否与扰动项相关，即工具变量是否合理？9***思路：工具变量的外生性意味着他们与u不相关。也就是说Z与ˆtslsu近似不相关。其中(用TSLS的估计，而不是OLS估计（有偏）)0111ˆˆˆˆˆˆ()tslsTSLSTSLSTSLSTSLSTSLSkkkkkrruYXXWWX为内生变量，个数kW为外生变量，个数r分析：如果工具变量是外生的，则上述残差关于工具变量和外生变量回归中，工具变量的系数为0。***步骤：工具变量外生性检验，过度识别约束检验（J统计量）S1，计算TSLS的估计残差：0111ˆˆˆˆˆˆ()tslsTSLSTSLSTSLSTSLSTSLSkkkkkrruYXXWW，为基于所有工具变量的TSLS回归估计残差。注意：残差是利用解释变量（X，W），而不是拟合值（Xhat）计算的。S2，构造辅助回归01111ˆtslsmmmmrruZZWWe其中，e为回归误差项。Z为工具变量m个，W为外生变量r个S3，计算统计量0:11:0mHH否则可以证明同方差，并且H0成立时，22J=nmkR。其中m-k为过度识别度（m为工具变量个数，k为内生变量）(前提是同方差，若异方差需要修正，见斯托克计量经济学第12章)10S4，判断如果J临界值，拒绝原假设。则工具变量与扰动项相关，工具变量不是外生的。如果J=临界值，不拒绝原假设，可以认为工具变量是外生的**如果是恰好识别，则J统计量的自由度为0，因此无法进行工具变量外生性检验。5、OLSvsIV我们假设解释变量有内生性，那么解释变量是否真的有内生性？（1）如果所有解释变量都是外生变量，则OLS比IV更有效。此时使用IV，虽然估计量是一致的，但会增加估计量的方差。（2）如果存在内生变量，OLS是不一致的，而IV是一致的。（3）检验思想如果所有解释变量都是外生的，无论是OLS还是IV估计都是一致的，则两个估计量差距ˆˆ()IVOLSββ不大。如果有部分解释变量是内生的，则OLS估计是不一致的，而IV估计是一致的，两个估计量差距ˆˆ()IVOLSββ较大。（4）检验方法①H0所有解释变量均为外生变量H1，至少有一个解释变量为内生变量11②构造统计量：'1ˆˆˆˆ()()IVOLSIVOLSDββββ可以证明在H0成立时，上述统计量服从卡方分布2()r（其中r为内生解释变量的个数）③计算统计量'1ˆˆˆˆ()()IVOLSIVOLSDββββ④查卡方分布表，得到临界值2()r⑤判断如果计算的统计量大于临界值2()r，拒绝原假设如果计算的统计量不超过临界值2()r，则认为原假设合理*工具变量的寻找是很困难的*时间序列或面板数据模型中的工具变量，有时可以用滞后值。12二、广义矩估计法（GMM:GeneralizedMethodofMoments）1、为什么要用GMM（1）OLS和MLE的缺陷①OLS的局限，只有在经典假设满足的条件下，估计量才具有优良性质。②MLE的局限，必须对随机扰动项的分布作出某种假设。（2）GMM的优势①不考虑随机扰动项的准确分布信息。GMM估计量的一致性仅取决于矩条件的正确设定②允许随机扰动项存在异方差，自相关等情况。为传统估计方法计算困难提供了方便的方法③大样本情况下，GMM估计量渐进有效。④OLS、MLE、IV都可以看做是GMM的特例。为OLS，IV，MLE提供了一个统一的分析框架。132、矩估计法（MM：MethodofMoments）（1）矩法什么叫做矩：对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征矩法的思想：母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛到相应的母体原点矩。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。矩估计：用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。矩条件：就是一个同时含有随机变量和待估计参数的式子（2）OLS矩估计（GMM估计的特例）矩条件：考虑经典线性回归模型的OLS估计量，该模型的一个重要假设条件是解释变量与扰动项无关，即()[()]iiiiiEEyxuxxβ0样本对应物：这组矩条件的样本对应物是1111ˆ()nniiiiiiieynnxxxβ014例如：01122331,2,,iiiiiyxxxin•如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：0112233011223310112233201122333ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0iiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxyxxxxyxxxxyxxxx即：0100,1,2,3(1njiiiixejx其中）（总体矩要求EXu=0）求解上述矩条件（样本矩），可以得到参数估计ˆβ。不难看出，这些矩条件正好是OLS估计量的正规方程，因此我们看到，OLS估计量是矩估计量。（3）IV估计是矩估计（GMM估计）的特例例如：01122331,2,,iiiiiyxxxin如果x2为随机变量(内生解释变量)，z2为它的工具变量，IV的正规方程组为：0112233011223310112233201122333ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0ˆˆˆˆ[()]0