金融物理(II)

1金融物理基础(II)[教学实践周]包景东北京师范大学物理系([e-mail])2011年7月11日-15日2本单元内容提要一、金融物理学基础知识•投资和金融市场•股票的异常现象二、价格的统计分析和物理模型三、为什么需要分数阶微积分？31.什么是金融物理？2.金融物理研究内容？3.金融物理研究的手段是什么？4用统计物理和非线性科学的理论和方法研究金融市场，通过自组织而涌现的宏观规律的一门新兴交叉学科。或者说，将金融市场看做一个复杂系统，其中的各种数据（如个股价格、指数、房价等）则看成是物理实验数据，力图寻找和阐明其中的“物理”规律。金融物理的定义5金融物理研究内容1.金融市场变量（收益率、波动率等）的统计规律，特别具有普适性的标度率（例如收益率的尖峰胖尾分布）；2.证劵的相关性、极端事件、金融风险管理等，分形市场假说研究收益率的长期记忆性，任务价格演化存在自相似结构；3.宏观市场的建模和预测，例如用随机过程对收益率建模和对数周期性幂率模型等；4.金融市场的微观模型，包括基本面投资者和噪声交易者博弈、逾渗模型、少数者博弈模型，从而了解市场的微观结构和价格形成机制。6金融物理的研究手段一、对金融数据（价格）经验规律的探索；二、对金融市场中经纪人行为的物理模型的探索。7金融市场、风险与收益、资产评估【金融基础知识】1.金融市场：储蓄者可以向贷款者提供资金的机构，包括债券市场和股票市场2.债券：一种债务的说明书（有到期日、信用风险，税）3.股票：企业部分所有权的索取权（股票反映了人们对公司未来赢利性的预期）。出售股票来筹资称为股本筹资；出售债券来筹资称为债务筹资。8观察股市的三个关键数字1）价格：股票最重要的一条信息是每股的价格；2）红利：公司把它的一些利润支付给股东；3）价格与收益比：收益是指产品的价格减去其生产成本，一般价格与收益比为P/E～159市场异象1.一月效应：历年的1月份的平均收益率高达3.5%在年终，个人交易者为了减少缴税数额，出售亏损股票，这些股票通常在翌年年初重新买入，又使这些股票出现反常收益率。2.月度效应前半月平均收益大于后半月的。103.周末效应：上世纪30年代统计发现周六高出周五和下周一的平均股价，周一平均股价下跌，现随着公司规模增大，周末效应减弱4.节日效应：节日前一天的平均收益率为正值5.小公司效应：收益率与公司的规模成反比均值回复股票具有一个基本价格，反映了资产的内在价值，股票的价格在短期内可能偏离基本价格，但是从长期来看，被高估或低估的股票的价格总会回复到其基本价格。11二、价格的统计分析和物理模型价格涨落是金融市场中普遍的行为，物理学家深信价格数据的历史中一定包含了系统的全部的动力学信息。问题：1）这种涨落呈现什么统计分布形式呢？2）什么样的动力学模型导向这种最后的分布？121.价格回复的Levy分布规律通过对棉花价格的分析中发现，价格回复过程，是一种非高斯分布，还显示出时间“标度”的存在，即对于不同的时间尺度，回复分布具有相同的形式。22022)(exp21)(xxxP1314２.价格（收益）变化的Ｊ过程演化模型15收益的演化分为三个阶段：渐变过程，阶跃过程，Ｊ过程。•从经济上讲，通过改变资本与劳动力质量，而上升到一个新的台阶；•从物理上讲，Ｊ过程相当于从一个定态越过势垒到达另一个定态。16３.朗之万方程模型)()()()(tftrtbttr金融市场中的价格的变化随时间的关系：rf(t)代表非线性系统的随机力，它反映经纪人自身的属性和对市场预期的差异性；b(t)为一随机变化的系数，反映了在金融市场中经纪人对价格变化的响应度。这是一个开放的金融市场！幂律分布是金融市场处于自组织临界态的一种反映！174.股价方程、期权定价与步朗运动模型dBtxdttxtdxtvdtdvm),(),()()(朗之方程：伊藤方程：股价方程：dBdttStdS)()(σ为股票价格波动率，μ为股票价格的预期收益率。185.价格标度律与分形结构在金融指数、价格变化中也发现幂律率与标度不变性；这反映了金融市场中价格变化的相似性和相关性。这可以解释为什么证劵市场价格会出现暴涨、暴跌以至股市崩盘现象。191.分数布朗运动与反常扩散2.连续时间无规行走理论(CTRW)3.分数阶微积分应用4.计算统计物理：反常扩散的模拟5.CTRW在金融领域的应用三、为什么需要分数阶微积分？20•牛顿物理:试图对自然现象做精确的测量，将自然界理解为确定性的“时钟”；•麦克斯韦－玻耳兹曼物理：偏离平均不再是一个误差，大的方差不再是测量精度的指标；•布朗运动：(1)1785年JanIngenhausz观测木炭粉末在酒表面运动；(2)1828年RobertBrown观测花粉,尘埃,烟灰在水表面的运动;(3)1905年AlbertEinstein用随机行走解释流体分子的热运动;(4)1926年JeanPerrin因为测量Avogadro常数获Nobel物理奖;•进一步发展是什么呢？导语211.分数阶布朗运动与反常扩散•反常扩散:反常扩散是指自由系统偏离正常布朗运动的扩散行为，表现为粒子的方均位移满足其中Kα称为广义扩散系数，α称为功率指数或者扩散指数。0α1称为欠扩散(sub-diffusion)，1α2称为超扩散(super-diffusion);α=0称为局域化(localization)，α=2称为弹道扩散(ballisticdiffusion)，它们是扩散的两个极限。1,~)(20tKxtx22正常布朗运动5.12)(ttx23信天翁24•研究反常扩散--输运的主要手段：1.广义热力学统计(Tsallis统计)2.非线性媒介Fokker-Planck方程和分数阶Fokker-Planck方程(FFPE)3.广义主方程(GME)4.广义Langevin方程(GLE)和分数阶Langevin方程(FLE)5.连续时间无规行走(CTRW)“非标准统计物理”252.连续时间无规行走理论Pearson-Einstein一维无规行走理论：1、假设粒子只在相邻格点之间跳跃，不同格点用下标j区分;2、假设粒子向j±1格点跳跃的概率相等，均为0.5。于是，粒子的一维扩散主方程为：),(21),(21),(11txxWtxxWttxWjjj26连续时间无规行走理论连续性近似下Δx→0,Δt→0，将主方程两边分别对Δx和Δt做泰勒展开，左边得到：右边得到：将上面两式代入主方程，就得到自由场扩散方程：其中称为扩散系数。)(),(),(2ttWttxWttxWjjj)(2)(),(),(32221xxWxxWxtxWtxxWjjjj),(221txWxKtWtxKtx2)(lim20,0127连续时间无规行走理论1965年，Montroll和Weiss在无规行走的基础上进行扩展，即将无规行走的固定时间间隔和固定跳跃距离都假设成随机变量，提出连续时间无规行走(CTRW)。28连续时间无规行走理论在CTRW理论中，粒子的扩散过程包含两个基本要素：①随机跳跃距离；②随机等待时间，它们的联合分布密度函数ψ(x,τ)。跳跃距离分布函数记为λ(x)，等待时间分布函数记为ω(τ)，两者都可由ψ(x,τ)得到：λ(x)dx表示跳跃距离取值在(x,x+dx)的概率；ω(τ)dτ表示等待时间在(τ,τ+dτ)的概率。),()(,),()(0xdxxdx29连续时间无规行走理论粒子t时刻在初始位置的存活概率为：其Laplace变换形式为：用η(x,t)表示粒子t时刻到达坐标x处的概率密度，并假设粒子初始分布为W0(x)，由此可得描述无规行走过程的广义主方程(GME)：tdt0)(1)(uuu)(1)()()()','()','(''),(00xWtttxxtxdtdxtxt30连续时间无规行走理论于是，粒子的分布函数W(x,t)满足：将GME代入上式，得到：对以上方程做Fourier-Laplace变换，得到粒子分布函数在相空间满足的方程：这是一个代数方程，记为方程(A)。ttttxdttxW0)'()',('),()()()','()','(''),(00xWtttxxtxWdtdxtxWt),(1)()(1),(0ukkWuuukW31连续时间无规行走理论•正常扩散正常扩散情况下，CTRW理论要求等待时间分布的一次矩均和跳跃距离分布的二次矩有限，通常选择泊松函数和高斯函数分别作为等待时间和跳跃距离的分布，记作：它们的Laplace变换和Fourier变换形式分别为：2220104exp41)(,exp)(xx)(1~)(),(1~)(42220kkkuuu32连续时间无规行走理论将上面两式代入方程(A)，并舍去高阶项，化简得到：注意到：可得描述自由粒子正常扩散的扩散方程：其中K1为扩散系数。),()(),(210ukWkKkWukuW)(),(),(),(),(022xWuxuWtxWLtkWktxWFtx),(),(221txWxKtxWt33连续时间无规行走理论•欠扩散欠扩散情况下，CTRW理论要求粒子跳跃距离分布的二次矩有限，故依然选择高斯函数作为粒子跳跃距离的分布；同时要求粒子等待时间分布的一次矩发散，通常选择的等待时间分布函数具有如下的长尾渐进形式：其Laplace变换形式为：10)(A)(1~)(0uu34连续时间无规行走理论将欠扩散等待时间分布和跳跃步长分布的相空间表达式代入方程(A)，得到：利用分数阶积分的Laplace变换公式：可得：),()(1),(20ukWukKkWuukW),(),(0uxWutxWILt),()(),(2200txWxKIxWtxWt分数阶幂35连续时间无规行走理论注意到分数阶导数和分数阶积分的关系：最后得到描述自由粒子欠扩散的分数阶扩散方程(FDE)：其中Riemann-Liouville分数阶导数算符定义为：可见和整数阶导数不同，分数阶导数包含了对历史的记忆，体现出非马尔科夫性质。10,010ttItD),(),(2210txWxKDtxWtttttttxWdtttxWD0110)'()',(')(1),(36连续时间无规行走理论将欠扩散粒子方均位移(MSD)的定义式做Fourier变换，得到：将W(k,u)的表达式代入计算，并做Laplace逆变换，可得：可见从CTRW模型出发，选择合适的等待时间分布函数，即可得到方均位移正比于tα的结果。02222),(),()(kukWkdxuxWxFux10,)1(2)(2tKtx37此情况下，要求等待时间分布的一次矩有限而跳跃距离分布的二次矩发散。因此，通常选择泊松函数作为等待时间的分布；而选择Lévy分布作为跳跃距离的分布，它具有一个长的拖尾，其渐进形式为：Fourier变换形式为：/2,||)2/sin()1()(1xx||1~)||exp(~)(kkk超扩散38可得到自由粒子超扩散的分数阶扩散方程：其中是Reisz-Weyl分数阶导数算符。上述分数阶扩散方程的解具有如下幂律渐进形式：),(),(txWDKtxWtx21,||~),(1xtKtxWxD39•可见粒子空间分布函数具备Lévy分布的典型特征，因此粒子的方均位移是发散的。现采用以空间分布宽度替代方均位移的方法，空间分布宽度定