《信号检测与估计》第三章习题解答

《信号检测与估计》习题解答《信号检测与估计》第三章习题解答3.1在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V和0V的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值为零，方差为2σ的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。解：由于()()2101==HPHP，且()()2222121σσπ−−=xeHxf()222021σσπxeHxf−=根据最小错误概率准则()()()()()0100110lHPHPHxfHxfxlHH==，得()()()()222222222201σσσ−+−−===xxxeeHxfHxfxl，()()1100==HPHPl110222HHxe−σ，110HHx3.2在存在加性噪声的情况下，测量只能为1V或0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为V2=σ，代价函数为01211001001====CCCC，，。信号存在的先验概率2.0=P。试确定Bayes准则下的门限值β，并计算出相应的平均风险。解：由于()2.01=HP，得到()8.00=HP()()8112221−−=xeHxfπ，()802221xeHxf−=π根据Bayes准则()()()()()()111010001000110||)(HPCCHPCClHxfHxfxlHH−−==，得()()()()8128810122−+−−===xxxeeHxfHxfxl，()()()()22.028.0111101000100=××=−−=HPCCHPCCl210812HHxe−，212ln410+HHx得到门限值为212ln4+=β平均风险为《信号检测与估计》习题解答()()()()()()()()()()()dxedxedxHxfCHPdxHxfCHPdxHxfCdxHxfCHPdxHxfCdxHxfCHPRxx∫∫∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−∞−∞∞∞−∞∞−+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ββββββββππ818101101001111011010000022224.0228.0||||||3.3只用一次观测值x对下面两个假设作出选择，0H：样本x为零均值，方差20σ的高斯变量；1H：样本x为零均值，方差21σ的高斯变量，且2021σσ。（1）根据观测结果，确定判决区域0D和1D。（2）画出似然比接收机的框图。（3）求两类错误概率()10|HDP和()01|HDP？解：（1）根据题意可得()21221121σσπxeHxf−=，()20220021σσπxeHxf−=设判决门限为0l，得到其似然比为()()()()20212021221001σσσσσσ−==xeHxfHxfxl，()021010202120212leHHx−σσσσσσ001202120212ln210lxHHσσσσσσ−，βσσσσσσ=−001202101ln210lxHH即判决区域为β,:0−∞D，+∞,:1βD（2）接收机结构形式如图所示。（3）()()∫∫∞−−∞−==βσβσπdxedxHxfHDPx2122111021|()()∫∫∞+−∞+==βσβσπdxedxHxfHDPx2022000121|3.4根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断0H：()()tntx=1H：()()tntx+=1设()tn为具有零均值和功率2σ的高斯过程，且0111001001====CCCC，。试求判决门限β，以及与β相应的各假设先验概率。解：根据题意可得()()2221121σσπ−−=xeHxf，()222021σσπxeHxf−=由于极大极小风险为()()()()()011011100010000qCCcqCCcqRβα−+=−+=00H10Hx-β《信号检测与估计》习题解答将0111001001====CCCC，代入上式，得()()()000qqqRβα==()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−====∫∫∫∞+−∞+−∞+−σβππσπασβσββσ212122112122202222erfdtedtedxeqttx()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−==∫∫∫∞−−∞−−∞−−−σβσβσβπσπσπβσββσβσ2112121121211211221121121212121022222erferferfdtedxedxeqtxx得到ββ−=1，21=β由于()()()()0212221011022222leeHxfHxfxlHHxxx−+−−===σσσ()02ln212ln10lxxlHH−=σ，βσ=+21ln0210lxHH得到()()()()()()11011101000100==−−=HPHPHPCCHPCCl()()2110==HPHP3.5若上题中，03611001001====CCCC，，（1）每个假设的先验概率为何值时达到极大极小风险？（2）根据一次观测的判决区域如何？解：略3.6设两个假设分别为0H：()()tntx=1H：()()tntx+=2其中，()tn是均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本()Mixi，，，L21=，应用Neyman-Pearson准则进行检验。令()05.001=HDP，试求（1）判决门限β；（2）相应的检测概率)(11HDP。解：（1）根据题意可得()()∑=−=MiixMeHxf124021π，()()()∑=−−=MiixMeHxf1242021π得到《信号检测与估计》习题解答()()()()∑∑==−−===MiiMiiMxxeeHxfHxfxl11101设判决门限为0l，得0101leHHMxMii−∑=，MlxHHMii+∑=01ln10，β=+∑==1ln110110lMxMxHHMii即判决门限为1ln10+=lMβ（2）3.7在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为()22211rrtxH+=：()10rtxH=：其中，1r和2r是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。求Bayes最佳判决公式。解：由题意可得()20221xeHxf−=π根据定理：当()1,0~Nxi，且Ni,,2,1L=之间相互独立时，∑==Niixx12服从2χ分布，其概率密度函数为()2122221xiiiexixf−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Γ。得到()()21121xeHxf−=Γ（0≥x）()01=Hxf（0x）由于()11=Γ，得到当0≥x时()()()20122xxeHxfHxfxl−==π设Bayesian门限值为0l，得到Bayesian判决公式为021022leHHxx−π，022ln210lxxHHπ−当0x时()()()001==HxfHxfxl即0H假设成立3.8设观测信号x在两种假设下的分布如题图3.8（a）、（b）所示，求Bayes判决公式。《信号检测与估计》习题解答解：根据题意可得()⎩⎨⎧≤≤−−=其他01110xxHxf()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=其他021311xHxf设Bayesian门限值为0l，得到Bayesian判决公式为()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤∞≤≤−≤≤−+==21101310113100001101010xlxlxxlxHxfHxfxlHHHHHH化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤−≤≤−−2110311011311001010xHxlxxxlHHHH成立题图3.8（a）)|(0Hxf)|(1Hxfxx-111-123/1（b）