第四章-n维向量与线性方程组

2020/11/10南京邮电大学邱中华-1-第四章n维向量与线性方程组§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间2020/11/10南京邮电大学邱中华-2-§4.1向量组及其线性组合O),,(zyxP三维空间的向量:有向线段。建立标准直角坐标系后，它由一点P或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。k2020/11/10南京邮电大学邱中华-3-在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。),,(,),,(222111zyxzyx),,(212121zzyyxx),,(111kzkykxk由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把n元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。2020/11/10南京邮电大学邱中华-4-定义n个数组成的有序数组称为一个n维行向量或n维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量.行向量与列向量统称为向量.分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.)(CRnnianaaa21),,,(21naaa或2020/11/10南京邮电大学邱中华-5-由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组.如:m×n的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含m个n维的行向量组,简称A的行组.再如:解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组.))((0nArxAnm定义mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaa2122221112112020/11/10南京邮电大学邱中华-6-132观察如图三维空间中的向量,必有332211kkk2211kk32211ll不可能)5(17133)4(632)3(1533)2(9432)1(3321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxTTTTTA543211713316321153394323111~再观察下面方程组增广矩阵的行组TTT124TTT3252有如下关系这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.2020/11/10南京邮电大学邱中华-7-对于向量组,表达式mA,,,:21)(2211Rkkkkimm)(2211Rimm称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即则称向量可由向量组A线性表示.定义2020/11/10南京邮电大学邱中华-8-(1)向量可由向量组线性表示nA,,,:21nnxxx2211存在数使nxxx,,,21上面方程组有解.即],,,[21nAAx有解]|[)(ArAr学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)2020/11/10南京邮电大学邱中华-9-],,,[],,,[2121pqqppqppqqccccccccc212222111211(2)如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示.qB,,,:21pA,,,:21ppqqqqppppccccccccc22112222112212211111ABBAX有解]|[)(BArAr(改写为矩阵)(转换为矩阵方程)(用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系!2020/11/10南京邮电大学邱中华-10-(3)如果向量组与向量组可以相互表示,则称这两个向量组等价.qB,,,:21pA,,,:21向量组A与向量组B等价)(]|[)(BrBArAr(1)向量组的等价关系是不是等价关系?(用矩阵的秩)(2)BAr,A的行组与B的行组等价吗?2020/11/10南京邮电大学邱中华-11-例1解],,[321A记问为何值时,不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.T),3,0(T)1,1,1(1T)1,1,1(2T)1,1,1(3设向量组A:向量只需讨论Ax解的情况.结论是：0时,方程组无解,不能由A表示.30且时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.2020/11/10南京邮电大学邱中华-12-3时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为021111321kxxx所有表示方法:321)2()1(kkk其中k为任意实数.即211121)2(112)1(330kkk2020/11/10南京邮电大学邱中华-13-,111:1A,31124213,110:1B2012，例2向量组A与向量组B等价吗?解法一000001132010111214310121110111]|[rBA2]|[)(BArAr又易知,故等价.2)(Br2020/11/10南京邮电大学邱中华-14-解法二,111:1A,31124213,110:1B20120001102014213111113211TTTAr110201201110211TTBr最简阶形一样(不计零行),故等价.2020/11/10南京邮电大学邱中华-15-例3已知3],,[,2],,[432321rr证明(1)能线性表示;(2)不能由线性表示.132,321,,4证如果则2],[32r12)(],[],,[432432rrr与条件矛盾.(2)要证]|,,[],,[4321321rr2],,[321r3],,[]|,,[4324321rr2]|,[],[13232rr(1)要证2020/11/10南京邮电大学邱中华-16-§4.2向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图)设可表为22114kk4421,,,说明321,,这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示,说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内(共面).13242020/11/10南京邮电大学邱中华-17-我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.定义向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关;否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立).mA,,,:21设向量组如果其中一个该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式?2020/11/10南京邮电大学邱中华-18-02211mmkkk等价定义mkkk,,,21如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设02211mmkkk便能推出021mkkk则称该向量组线性无关.按后者不妨设则01kmmkkkk)/()/(12121符合前面定义.反之,按前者不妨设mmll2210)1(221mmll又符合后者定义.等价吗?2020/11/10南京邮电大学邱中华-19-02211nnxxx存在不全为零的数使nxxx,,,21即],,,[021nAAx有非零解.nAr)(与以前类似，还是转换！nA,,,:21向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)上面方程组有非零解.(用矩阵的秩)2020/11/10南京邮电大学邱中华-20-设,742,520,111321问向量组},,{321},{21和的线性相关性?000220201751421201],,[321r2],,[321r},,{321的线性相关.2],[21r},{21的线性无关.例12020/11/10南京邮电大学邱中华-21-TTTt),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321t取何值时,下列向量组线性相关?解tA31321111],,[321记03)(,,321AAr线性相关512021011131321111tttA当t=5时,上面向量组线性相关.例22020/11/10南京邮电大学邱中华-22-A,B为非零矩阵且AB=O,则(A)A的列组线性相关,B的行组线性相关(B)A的列组线性相关,B的列组线性相关(C)A的行组线性相关,B的行组线性相关(D)A的行组线性相关,B的列组线性相关设说明Ax=0或AX=O有非零解,故r(A)n,从而A的列组相关;考虑转置,同样的道理,矩阵列组即B的行组相关.OBApnnmOABTTTB另,r(A)+r(B)≤n,r(A)0,r(B)0,得r(A)n和r(B)n,从而A的列组和B的行组相关.例32020/11/10南京邮电大学邱中华-23-设线性无关,问满足什么时,321,,km,312312,,mk线性相关.向量组:分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,首先要把它改写成矩阵乘积的形式.313232121,,mk记1001101],,[],,[321321mk则例42020/11/10南京邮电大学邱中华-24-01001101],,[],,[321321321321xxxmkxxx0],,[321321332211xxxxxx设(要讨论上面方程组何时有非零解)由于故3],,[321r01001101321xxxmk0],,[321321xxx2020/11/10南京邮电大学邱中华-25-01100110131001101mkmk