赵明旺版习题解答-现控理论-第3章

习题解答3-1试用直接计算法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt(即状态转移矩阵)。⑴1001A⑵010100001A解(1)按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:222222e......2!!101010...0101012!11...02!101...2!e00ekkAtttAtAtIAtktttttt(2)按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:222222332e......2!!100100100010001001...2!00101001011...002!1101......2!3!110...1...3!2!e000cossin0skkAttAtAtIAtkttttttttttttincostt23-2试利用矩阵指数函数的性质计算下列矩阵A的矩阵值函数eAt。⑴200020012A⑵100001000A解(1)因为A矩阵为由1221202AA2个方块矩阵组成的块对角矩阵，因此矩阵A的矩阵值函数eAt为1221202222101e0e0e0ee010010e0e0010ettttttttttAAA(2)因为A矩阵为由1200110AA2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A1的矩阵指数函数为1TT0001110e=exp=exp=1000011tttttA因此矩阵A的矩阵值函数eAt为12100e0e100e00etttttAAA33-3试选择适当的方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。⑴200110001A⑵)()(10babaabA解(1)因为A矩阵为由1211102AA2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A2的矩阵指数函数的计算过程为212222112211121adj()1121()011(1)(2)02eeee[()]0etttAttssIAssssIAssIAssssIAL因此矩阵A的矩阵值函数eAt为1222e00e0e0eee0e00ettttttttAAA(2)因为A矩阵的特征多项式为s2+(a+b)s+ab,其特征值为-a和-b。因此矩阵A的矩阵值函数eAt可表示为AtItAt)()(10e其中待定函数由如下计算确定101()1eee11()eeeatatbtbtatbttababtab则系统的矩阵指数函数为01()()1(ee)(ee)eeee1(ee)eeAtatbtatbtatbtatbtatbtatbttItAbaIAabbaabababe43-4试说明下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,若满足,试求与之对应的A矩阵。⑴tttttcossin0sincos0001)(⑵)(2)(4)(241)(3333tttttttteeeeeeeet解(1)判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。ItAt)0()()(本例的(t)显然满足定义的初始条件。设该(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形(0)(0)A即(0)A将本例的(t)代入有0000000(0)0sincos0010cossin010tAtttt对上述计算出的A，还需检验其是否满足(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为000()0sincos0cossin000100000()0010cossin0sincos0100sincos0cossintttttAttttttttt综上所述，因为该A矩阵满足(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该(t)为一个状态转移矩阵，A为其对应的系统矩阵。(2)判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。ItAt)0()()(本例的(t)显然满足定义的初始条件。设该(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形5(0)(0)A即(0)A将本例的(t)代入有33330112(3)31(0)4144(3)2(3)ttttttttteeeeAeeee对上述计算出的A，还需检验其是否满足(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为3333333333332(3)31()44(3)2(3)112()2(3)311()41444()2()4(3)2(3)tttttttttttttttttttttttteeeeteeeeeeeeeeeeAteeeeeeee综上所述，因为该A矩阵满足(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该(t)为一个状态转移矩阵，A为其对应的系统矩阵。63-5试求下列齐次状态方程的解。(1)321321300020001xxxxxx(2)321321200120012xxxxxx解：(1)由于A矩阵为对角线矩阵，其对应的矩阵指数函数为23e00e0e000etAttt因此齐次状态方程的解为0000()()2()003()e00()=e()0e0()00ettAtttttttttxxx(2)由于A矩阵为约旦矩阵，其对应的矩阵指数函数为221/2!ee01001Attttt因此齐次状态方程的解为00200()2()0001()()/2!()=e()e01()()001Atttttttttttttxxx73-6设线性定常系统的齐次状态方程为()()tAtxx已知⑴22()ttetex,当1(0)1x⑵2()ttetex,当2(0)1x试求取该系统的系统矩阵A及状态转移矩阵)(t。解:根据齐次状态方程的解表达式,将同一个系统在不同初始条件下的解排列在一起，有121212[()()]=[e(0)e(0)]e[(0)(0)]AtAtAtttxxxxxx因此,有-11212-1222222()=e[()()][(0)(0)]122112222Atttttttttttttttteeeeeeeeeeeexxxx下面计算上述矩阵指数函数（状态转移矩阵）对应的A。由状态转移矩阵的定义式ItAt)0()()(知，矩阵A和(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形(0)(0)A即(0)A将上述(t)代入有22220022224(0)1324ttttttttteeeeAeeee对上述计算出的A，还需检验其是否满足(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为82222222222222224()24022222224()13224tttttttttttttttttttttttteeeeteeeeeeeeeeeeAteeeeeeee综上所述，因为该A矩阵满足(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此所求得的A及其状态转移矩阵(t)满足题目所给定的两个初始条件。93-7已知线性定常系统的齐次状态方程为01()()21ttxx试确定与状态T(1)[25]x相对应的初始状态(0)x。解对本题，先求出系统的状态转移矩阵。由于矩阵A为友矩阵，其特征多项式为s2+s-2，特征值为1和-2，其对应的特征向量分别为[11]T[1-2]T则由特征向量组成的变换矩阵P可以将A矩阵变换为对角线矩阵，即有111121002PAPAP因此，原矩阵A的矩阵指数函数为1222221121e01ee121130e2eee-e132e2ee2etAtAttttttttttPP因此，若已知T(1)[25]x，则由1(1)=e(0)Axx可得12121212121223ee2eee-e1(0)=e(1)532e2ee2e3e2eAxx103-8已知线性定常系统的非齐次状态方程为uxxxx023210212110)0()0(21xx试分别求在下列输入下状态轨迹()tx(1)阶跃信号)0(1)(ttu;(2)负指数信号)0()(tetut。解先求系统的状态转移矩阵。1221122211131adj()11212()22212(1)(2)12122eeeee[()]-2e2e-e2ettttAtttttssIAsssssIAssIAsssssssIAL然后根据非齐次状态方程的解公式对不同输入求解状态响应。(1)当输入信号为负指数信号)0()(tetut1111()00()()()()e(0)e()d-3e33e2tAtAttttsIAsIABUsBxxxuLL(2)当输入信号为负指数信号)0()(tetut1111()0022()()()()e(0)e()dee4e2e+3e4etAtAttttttttsIAsIABUsBttxxxuLL113-9试求取下列连续系统状态方程在T=0.1s的离散化方程。(1)000()011tuxx(2)011()021tuxx解采样周期T=0.1s较大，采用精确离散法(1)先求系统的状态转移矩阵。由于A为对角线矩阵，因此状态转移矩阵为10()0ett因此，精确离散化方法离散化所得的系统模型各矩阵为0.