高斯随机过程

2.3高斯随机过程2.3.1定义若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)212121...)2(1Bn)])((21exp[.11kkkjkjnkjknjaxaxBB式中,ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，B1b12…b1nB211…b2nBn1bn2…1…………|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且2.3.2（1）由式(2.3-1)可以看出,高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。（2）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3-1）变为fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=(2.3-2)也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为njjjjnjjnax122122)(exp[)2(1]2)(exp[21221jjjnjjax=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(xn,tn))2)(exp(21)(22axxf式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f(x)曲线如图2-3所示。由式（2.3-3）和图2-3可知f(x)具有如下特性：(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)21)()(adxxfdxxf1)(dxxf且有图2-3正态分布的概率f(x)12Oax3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。当我们需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概率P(ξ≤x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即dzazxpxFx]2)(exp[21)()(22这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：（1）误差函数和互补误差函数。误差函数的定义式为xtdtexerf022)(它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf(∞)=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即erfc(x)=1-erf(x)=dtext22它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc(∞)=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x＞2)即可近似有21)(xexxerfc（2）概率积分函数和Q函数。概率积分函数定义为Φ(x)=(2.3-10)0,212/2xdtext这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数，有Φ(∞)=1。Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为0,21)(1)(2/2xdtexxQxt比较式（2.3-8）与式（2.3-10）和式（2.3-]11），可得)2(21)(xerfcxQ)]2(1[2)2(2)(xxQxerfc现在让我们把以上特殊函数与式（2.3-6）进行联系，以表示正态分布函数F(x)。若对式（2.3-6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/σ，就有dz=σdt，再与式（2.3-10）联系，F(x)=(2.3-15)若对式（2.3-6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/σ，就有dz=σdt，再利用式（2.3-5），则不难得到22ax用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。F(X)=时当axaxerf),2(2121时当axaxerf),2(2112.3.3信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即Pξ(ω)=(2.3-17)这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即20nR(τ)=)(20n这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图2-4画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。由式（2.3-18）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。第3章将要讨论的热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的例子。