等差数列

01-1即墨实验高中高三数学理倾导学案等差数列及其前n项和编号：33编写人：丁会访审核人：刘文宝时间：2014-11-12【课前预习导读】一、学习目标1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系二.知识梳理1.等差数列的概念如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于____________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_____,一般用字母d表示;定义的表达式为:_______________.2.等差中项如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=_____.3.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_________.4.等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,an,nSn=__________a1,d,nSn=_____________5.等差数列的性质(1)等差数列的常用性质:①通项公式的推广:an=am+_______(n,m∈N*);②若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__________;k+l=2m⇔________(k,l,m∈N*);③若{an}是等差数列,公差为d,则{2na}也是等差数列,公差为___;④若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列;⑤若{an}是等差数列,则2,,kkmkmaaa…(k,m∈N*)组成公差为___的等差数列.(2)等差数列与等差数列各项的和有关的性质:①若{an}是等差数列,则也成等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的;②Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,______成等差数列;③关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(i)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,(ii)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,(其中S奇,S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的_____条件;⑥等差数列的增减性:d0时为_____数列,且当a10时前n项和Sn有最小值.d0时为_____数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.三、课前自主检测：1.(2014·潍坊模拟)已知{an}是等差数列,且a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是()A.4B.14C.-4D.-142.已知等差数列{an}的前13项之和为则tan(a6+a7+a8)等于()33;1;13ABCD；3.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且a4=9,a9=-6,则Sn取最大值时n的值为()A.6或7B.7或8C.5或6D.8或94.将含有n项的等差数列插入4和67之间仍构成一个等差数列,且新等差数列的所有项之和等于781,则n的值为()A.22B.20C.23D.215.已知数列{an}的通项公式an=4n-1(n∈N*),其前n项和为Sn,则S15=.学案装订线nSn{}12nn1Sa,Sa奇偶SnSn1奇偶；n2n1n2n1aS;bT134，01-2四、课堂自主导学考点1等差数列的基本运算【典例1】(1)(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2(2)(2014·南京模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.①求通项an;②若Sn=242,求n.【变式训练1】(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.62.(2014·襄阳模拟)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-a14的值为()A.12B.14C.16D.18考点2等差数列的判定与证明【典例2】(1)若{an}是公差为1的等差数列,则{2122nnaa}是()A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列(2)已知数列{an}中,1131,25nnaaa(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足11nnba(n∈N*).①求证:数列{bn}是等差数列;②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.【变式训练】(2014·郑州模拟)数列{an}满足1111,22nnaaa(n∈N*).(1)求证:11na为等差数列,并求出{an}的通项公式.(2)设11nnba,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n-Bn20m成立,求正整数m的最大值.考点3等差数列性质的应用【典例3】(1)(2014·开封模拟)已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n3),Sn=100,则n的值为()A.8B.9C.10D.11(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.1301-3当堂检测1.(2014·天津模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=-2014,则S2015=()A.2015B.2014C.1D.02.(2014·洛阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各个前n项和中,也为确定的常数的是()A.S6B.S11C.S12D.S133.(2013·辽宁高考)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p44.(2014·中山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a10,S2009=0.(1)求Sn的最小值及此时n的值.(2)求n的取值集合,使an≥Sn.5.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值范围.6.(2014·乌鲁木齐模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围.(2)S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.7.已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列.(2)设bn=an-30,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.8.若数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明数列{an+1-an}是等差数列.(2)求使成立的最小的正整数n.181223123n11115aaaa220142008SS620142008，nan{}