B-6-3-6.3-子群及其陪集概述

第六章群、环、域吉林大学董旭初§6.3子群及其陪集一、子群的定义二、子群的判别条件三、循环群四、陪集abcdbcda一、子群的定义如何用数学语言表达“旋转”操作？顺时针旋转90°abcdcdab顺时针旋转180°abcddabc顺时针旋转270°，r◦r，r◦r◦rabcdabcd顺时针旋转0°({I,r,r2,r3}，◦)是一个群，记为r，记为I一、子群的定义abcddcbaabcdadcb翻转abcdcbad翻转，s◦r，s◦r◦r◦rabcdbadc翻转，记为s翻转，s◦r◦r({I,r,r2,r3,s,sr,sr2,sr3}，◦)是一个群({I,r,r2,r3}，◦)是它的一个子群一、子群的定义定义6.4.1设(G,·)是一个群，HG，如果(H,·)仍是一个群，则(H,·)叫做(G,·)的子群。如果G的一个子群H不等于G，即HG，则(H,·)叫做(G,·)的真子群。（1）G的子群H具有与G相同的运算。（2）一般地，在群G中成立的性质，在子群H中仍然成立。（3）群G一般都有两个明显的子群，称为G的平凡子群：①由其单位元素组成的子群{1}，称为G的单位子群；②G本身。其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。一、子群的定义例1．（mZ,+）是整数加法群（Z,+）的一个子群。例2．（R,+）、（Q,+）、（Z,+）都是（C,+）的真子群。例3．（R*,·）、（Q*,·）都是（C*,·）的真子群。例4．行列式等于1的所有n阶矩阵是所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个真子群。例5．n次交代群是n次对称群的一个真子群。例6．（C*,·）不是（C,+）的子群。一、子群的定义例7．设Z6={0,1,2,3,4,5}，则Z6在整数模6加法下是一个群，其中：{0}和Z6是该群的两个平凡子群；{0,3}和{0,2,4}是Z6的两个非平凡子群；{0,1,3,5}不是Z6的子群。(Z6,+6)的子群032415一、子群的定义例8.设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x,xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。证明：①显然1H,即H非空且有壹。②对任意x、yH，有(x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y)，故x*yH，即H中*运算封闭。③显然，*运算在H中仍满足结合律。④对任意xH，有x*a=a*x，于是x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a，即x-1H。■H称为群G的中心一、子群的定义课后练习设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证：aHa-1={aha-1|hH}是G的子群。（aHa-1也称为H一个的共轭子群）一、子群的定义1？a-1？a二、子群的判别条件定理6.4.1（判别条件一）群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是：(1)若a∈H、b∈H，则ab∈H；(2)若a∈H，则a-1∈H；(3)H非空。证明：（必要性）若H是G的子群，则(1)、(3)显然，现证(2)。先证H中壹就是G中壹。设1G是G中单位元、1H是H中单位元。任取a∈H，则在H中有：1Ha=a，此式在G中也成立，两边右乘a-1得(1Ha)a-1=aa-1，即1H(aa-1)=1G，1H1G=1G，故1H=1G。由群的定义，对于H中的a，应有b∈H使，ab=1H=1G，此式在G中亦成立，两边左乘a-1得b=a-11G=a-1，因而a-1∈H，即(2)成立。二、子群的判别条件证明：（充分性）设(1)(2)(3)成立。由(3)知H非空，由(2)知G中运算在H中亦封闭。由(1)，H中的两个元素a、b可以在H内相乘，在G中成立的结合律在子集H中自然成立。往证H中有单位元1G。任取a∈H，由(2)：a-1∈H，由(1)：aa-1∈H，即1G∈H；又G和H中运算相同，故1G也是H中单位元。往证H中任意元素a有逆。由(2)：a-1∈H，又G和H中运算相同，故a-1即a在H中之逆。综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。■二、子群的判别条件子群H与大群G的关系H的单位元就是G的单位元，H中任一元素a在H中的逆元也就是a在G中的逆元。1a-1aGH二、子群的判别条件定理6.4.2（判别条件二）定理6.4.1中的两个条件(1)(2)可以换成下面一个条件：若a∈H、b∈H，则ab-1∈H（*）。证明：设(1)(2)成立，往证（*）成立。设a∈H、b∈H，由(2)，b-1∈H，由(1)，ab-1∈H，因而（*）成立。设（*）成立，往证(1)(2)成立。设a∈H，由(*)：a∈H，a∈H，故aa-1∈H，即1∈H。又由(*)：1∈H，a∈H，故1a-1∈H，即a-1∈H，因而(2)成立。设a∈H、b∈H，因为(2)已证，故b-1∈H。再由(*)推知，a∈H、b-1∈H，故a(b-1)-1∈H，即ab∈H，故(1)成立。■二、子群的判别条件例9．设H和K都是群G的子群，令HK={xy|xH,yK}，KH={yx|yK,xH}。试证若HK=KH，则HK是G的子群。（逆命题即教材习题6.3中2）证明：①因为1H、1K，故1HK，即非空。②对于任意的x=hk,y=h1k1,这里h、h1H,k、k1K，有xy-1=(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。记k2=kk1-1K,由HK=KH，存在h3H、k3K使k2h1-1=h3k3。从而xy-1=hh3k3=(hh3)k3HK。由定理6.4.2知HK是G的子群。二、子群的判别条件定理6.4.3（判别条件三）设H群G的一个有限非空子集，则H是G的子群的充分必要条件是H对G的运算是封闭的，即若a∈H、b∈H，则ab∈H。（提示：充分性证明用教材习题6.2.2的结论：若非空、运算封闭、结合律、消去律、有限，则为群。）1．习题6.3.12．习题6.3.2作业4三、循环群（Cyclicgroup）例10．设Z6={0,1,2,3,4,5}，请问在模6加法群(Z6,+6)的所有子群中：（1）包含元素0的最小子群是？（2）包含元素1的最小子群是？（3）包含元素2的最小子群是？（4）包含元素3的最小子群是？（5）包含元素4的最小子群是？（6）包含元素5的最小子群是？(Z6,+6)的子群032415三、循环群（Cyclicgroup）定理6.4.4设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合an，n=0,±1,±2,…做成G的一个子群，记为（a）。此群称为由a生成的子群。证明：（1）(a)非空，至少a0=1∈(a)。（2）任取(a)中二元素am、an，有am(an)-1=ama-n=am-n∈(a)。故由子群判别条件二，(a)做成G的一个子群。■三、循环群（Cyclicgroup）例11．在模6加法群(Z6,+6)中：（1）（0）={0}；（2）（1）={0,1,2,3,4,5}；（3）（2）={0,2,4}；（4）（3）={0,3}；（5）（4）={0,2,4}；（6）（5）={0,1,2,3,4,5}；(Z6,+6)的子群032415三、循环群（Cyclicgroup）定义6.4.2如果群G可以由它的某元素a生成，即有a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群或巡回群，a称为循环群G的生成元。定理6.4.4中的（a）称为由a生成的循环子群。三、循环群（Cyclicgroup）例12．整数加法群（Z,+）是由1生成的循环群。例13．（nZ,+）是由n生成的循环群,它是（Z,+）的一个循环子群。例14．G={1,-1,i,-i}关于复数乘法运算构成一个群，它是循环群，i和-i都是生成元；（-1）={1,-1}是G的一个循环子群，G本身也是自己的一个平凡的循环子群。例15．实数加法群（R,+）不是循环群，（1）=Z是它的一个循环子群。三、循环群（Cyclicgroup）定义6.4.2如果群G可以由它的某元素a生成，即有a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群或巡回群，a称为循环群G的生成元。定理6.4.4中的（a）称为由a生成的循环子群。容易证明循环群必是Abel群。三、循环群（Cyclicgroup）元素的周期对于群G，由其元素a所生成的循环子群（a）可以写为：…,a-2,a-1,a0,a,a2,…分以下两种情况讨论：情形1：如果（a）中所有元素都彼此不同，则称a的周期为∞或0。此时，对任意两个不同的整数s与t，as≠at。情形2：如果（a）中出现重复的元素，即有整数s≠t，使as=at。不妨设st，于是s-t0且as-t=1，即有正整数m使am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期（阶）为n。三、循环群（Cyclicgroup）n三、循环群（Cyclicgroup）例16．4次对称群中（1234）的周期是4，因为(1234)2=(13)(24)(1234)3=(1432)(1234)4=I。例17．在（C*,·）中，1的周期为1，-1的周期为2，±i的周期为4，模数r≠1的复数z=reiθ的周期为无穷大。三、循环群（Cyclicgroup）定理6.4.5若群G中元素a的周期为n，则（1）1,a,a2,a3,…,an-1为n个不同元素；（2）am=1当且仅当n∣m;（3）as=at当且仅当n∣(s-t)。证明：因为任意整数m恒可唯一地表为m=nq+r，0≤rn，故am=anqar=(an)qar=1qar=lar=ar；由于0≤rn，故按周期的定义知ar=1iffr=0所以am=1iffr=0iffn∣m即（2）得证。由（2）即知as=atiffas-t=1iffn∣(s-t)，即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。■三、循环群（Cyclicgroup）结论：设a为群G的一个元素，（1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无限循环群，（a）由彼此不同的元素…,a-2,a-1,1,a,a2,…组成。（2）如果a的周期为n，则（a）为n元循环群，它由n个不同的元素1,a,a2,a3,…,an-1组成。三、循环群（Cyclicgroup）在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集合：…，-2a，-a，0，a，2a，…(*)当(*)中的所有元素均彼此不同时，称a的周期为无穷大或为0；否则当n为适合na=0的最小正整数时，称a的周期为n。（注意这里的加法表示满足交换律的一种抽象运算。）定理6.4.5’若加法群中a的周期为n，则有（1′）0,a,2a,…,(n-1)a为n个不同元素；（2′）ma=0当且仅当n∣m;（3′）sa=ta当且仅当n∣(s-t)。三、循环群（Cyclicgroup）定理6.4.6（1）无限循环群（a）一共有两个生成元：a及a-1。（2）n元循环群（a）中，元素ak是（a）的生成元的充要条件是(n,k)=1。所以（a）一共有(n)个生成元素。证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么（a）中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可表示为ak的方幂。设a=(ak)m=akm。（1）由（a）是无限循环群知，km=1。因此，k=±1。即，a及a-1为无限循环群（a）的生成元。三、循环群（Cyclicgroup）（2）如果（a）是一个n元有限群，那么a的周期为n。由周期的性质知，n|km-1。因此，km-1=nq，km-nq=1。这说明k与n互质。另一方面，如果k与n互质，则有h和-q，使hk-qn=1，即hk-1=qn，故n│(kh-1)，由周期的性质知，a1=akh，a=(ak)h。故a可表为ak的若干次方。总之，a可表为ak的若干次方iffk与n互质。在0≤kn中，共有(n)个k与n互质，故共有(n)个元素ak可生成（a）。■三、循环群（Cyclicgroup）例18．(Z,+)的生成元只能是1和-1。例19．若G=(a)是元数为12的循环群，(12)=4，与12互质的数有1、5、7、11，因此a、a5、a7、a11是G的所有4个生成元。1．习题6.3.4中（2）2．习题6.3.5作业5四、陪集例20．给定集合Z6={0,1,2,3,4,5}，+6为