ARMA时间序列模型及SPSS应用

ARMA时间序列模型及其相关应用段晓曼吴艾茜黄衍超2017.12.07南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY提纲时间序列模型的概念模型的识别模型阶数的确定模型参数的估计模型的检验模型的应用2南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY3一、时间序列模型的概念南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY时间序列的概念时间序列是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的序列。时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。42000-2013年我国GDP增长图*公开数据整理南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITYARMA模型的概念ARMA模型（自回归滑动平均模型，Auto-RegressiveandMovingAverageModel）是研究时间序列的重要方法。1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上，系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成为时间序列分析的核心，故ARMA模型也称为Box-Jenkins模型。5南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITYARMA模型的概念ARMA是一种单变量、同方差的线性模型，对于满足有限参数线形模型的平稳时间序列，主要有以下三种基本形式：自回归模型（AR:Auto-regressive）移动平均模型（MA:Moving-Average）混合模型（ARMA:Auto-regressiveMoving-Average）6平稳时间序列：统计量的统计规律不随时间变化。南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY设为零均值的实平稳时间序列，阶数为p的自回归模型定义为：7AR模型tX1122.tttptptXXXXa模型简记为，是时间序列自身回归的表达式，所以称为自回归模型。AR()ptX其中，是独立同分布的随机变量序列，且满足，也称白噪声序列。ta[]0tEa2[]taDa为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：1ttXBX22-1tttXBXBXptptXBX则自回归模型可写为：()ttBXa212()1.ppBBBB其中：南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY对于模型：8AR模型()ttBXa若满足条件：的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为AR(p)模型的平稳性条件。()0B1R1B2B3B当模型满足平稳性条件时，存在且一般是B的幂级数，于是模型又可写为：-1()B-1()ttXBa南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY设为零均值的实平稳时间序列，阶数为q的滑动平均模型定义为：9tX1122.ttttqtqXaaaa模型简记为。同样为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：MA()q1ttaBa22-1tttaBaBaptptaBa则滑动平均模型可写为：()ttXBa212()1.qqBBBB其中：MA模型若满足条件：的根全在单位圆外，则称此条件为MA(q)模型的可逆性条件，此时存在且一般是B的幂级数，于是模型又可写为：()0B-1()B1()ttaBX南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY10AR与MA模型的比较自回归模型：意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不一定平稳。滑动平均模型：意义在于用过去各个时期的随机干扰（白噪声）或预测误差的线性组合来表达当前预测值，但具有不一定可逆性。1122.tttptptXXXXa1122.ttttqtqXaaaa南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY11ARMA模型设为零均值的实平稳时间序列，p阶自回归q阶滑动平均混合模型定义为：tX11221122.tttptptttqtqXXXXaaaa()tBX()tBa=模型简记为ARMA(p,q).显然，当q=0时，ARMA(p,q)模型就是AR(p)模型；显然，当p=0时，ARMA(p,q)模型就是MA(q)模型；ARMA(p,q)模型的平稳性只依赖于AR部分；ARMA(p,q)模型的可逆性只依赖于MA部分；南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY12二、模型的识别南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY13MA模型的自相关函数1122.ttttqtqXaaaa阶数为q的滑动平均模型定义为：根据自相关函数的定义：11111111()=[()()]=[][][][]kttkttqtqtktkqtkqqqqqttkjttkjititkijtitkjjiijEXXEaaaaaaEaaEaaEaaEaa因为2,.[]0,.asttsEaats111=[][][]qqqkttkititkiititkjiijEaaEaaEaa所以自相关函数变为三项：南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY14MA模型的自相关函数111=[][][]qqqkttkititkijtitkjiijEaaEaaEaa对于：分以下几种情况讨论：1）当k=0时，有22222211=[][]=;qqktitiaiaiiEaEa2）当时，有222211=-[][]=-;qqkktkiiktikaiikaikikEaEa1kq3）当kq时，有=0;k从上述性质可以看出，MA(q)序列的自相关系数在kq时全为0.这种性质称为q步截尾性，表明序列只有q步相关性。k南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY15AR模型的自相关函数阶数为q的自相关模型定义为：根据自相关函数的定义：11221122()=[()]=kttktkttptptkkpkpEXXEXXXXa1122.tttptptXXXXa令k=1,2,…,p,得自相关系数：1121-1211231-21-122===pppppppp从上述性质可以看出，AR(q)序列的自相关系数随着k的增大始终不为0.这种性质称为拖尾性，并且是呈负指数衰减。k南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY16ARMA模型的自相关函数ARMA(p,q)模型的自相关系数，可以看做AR(p)模型的自相关函数和MA(q)模型的自相关系数的混合物。•当p=0时，它具有截尾性质；•当q=0时，它具有拖尾性质；•当p，q均不为0时，如果当p,q均大于或者等于2，其自相关函数的表现形式比较复杂，有可能呈现出指数衰减、正弦衰减或者二者的混合衰减，但通常都具有拖尾性质。南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY17偏相关函数从上面的讨论可知，对于自相关函数，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p,q)模型是拖尾的。为了进一步区分AR(p)模型和ARMA(p,q)模型，我们引入了偏相关函数的概念。对于零均值的平稳时间序列中，给定，则之间的偏相关函数定义为：11,,ttkXXttkXX和222[][]==[][]ttkttkXttkEXXEXXEXEX偏相关函数注意：此时的期望指的是条件期望。南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY18AR模型偏相关函数设为零均值的实平稳时间序列，设它满足AR(p)模型：tX1122.tktktkktktXXXXa用乘上式两边，当给定时，取条件期望得：-tkX1111=,tttktkXxXx，-11-,11-2--[][][][][].ttkkttkkktktkkktkttkEXXxEXxEXEXEaX因为k0时，，且有-[]0ttkEaX2--[][],ttkkktkkkXEXXDX故2[]=,1,2,.ttkkkXEXXk显然即为AR(p)序列的偏相关函数，同时它又是AR(p)模型的最后一个回归系数。当kp时，有，也即是截尾的。kk=0kk南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY19ARMA模型偏相关函数ARMA模型的偏相关函数求解方法和上述略有不同，考虑用对做最小方差估计来求ARMA(p,q)序列(把MA(q)看作是p=0的特例)的偏相关函数，同时推出偏相关函数与自相关函数的关系。1,,ttkXXtXtXkk11111,111111,1,1,1=,1,1,2,,.kkkkkkjkjjkjjjkjkjkkkkjjk当kp时，0kk即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY20平稳时间序列的类型识别类别模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程平稳条件的根全在单位圆外无条件平稳的根全在单位圆外自相关函数拖尾截尾拖尾偏相关函数截尾拖尾拖尾()ttBXa()ttXBa()()ttBXBa()0B()0B南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY21三、模型阶数的确定南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY22模型的识别是根据理论自相关函数或偏相关函数是否结尾来判断的。但实际中人们所获得的观测数据只是一个有限长度N的样本值𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑁，由它们算出来的样本自相关函数𝑝𝑘和样本偏相关函数𝜑𝑘𝑘只是𝜌𝑘和𝜑kk的估计值。讨论：如何用样本自相关函数来推断模型的阶。模型阶数的确定南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY23样本的自相关函数设有零均值平稳时间序列{X𝑡}的一段样本观测值𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑁，样本协方差函数定义为:k11ˆ0,1,1NkiikixxkNN，样本自相关函数定义为：kk0ˆˆ=0,1,1ˆkN，模型阶数的确定（式1）由样本值求出样本自相关函数南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY（1）设{X𝑡}是正态的零均值平稳MA(q)序列，则对于充分大的N，𝜌k的分布渐近于正态分布𝑁(0,1𝑁(1+2𝜌𝑖2𝑞𝑖=1))由正态分布的性质知，2k11P||(1268.3ˆˆ%qiiN）或2k12P||(1295.5ˆˆ%qiiN）在实际应用中，因为q一般不是很大，而N很大，此时常取1211(12)ˆiqiNN即认为𝜌𝑘的分布渐近于正态分布𝑁(0,(1/𝑁)2)，于是有：k1P||68.3ˆ%Nk2P||95.5ˆ%N或𝝆𝒌的渐进分布及模型的阶数25南方医科大学SOUTHERNMEDICALUNIVERSITY25首先计算𝜌1,𝜌2,⋯