3.4-第1课时--圆周角和圆心角的关系(上课)

圆圆的对称性垂径定理圆周角和圆心角的关系确定圆的条件直线和圆的位置关系切线长定理圆内接正多边形弧长及扇形的面积1第三章圆982345673.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系1.圆周角的定义理解圆周角的概念.2.圆周角定理及其推论会叙述并证明圆周角定理，理解圆周角与圆心角的关系，能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.3.方法类比学习，掌握“特殊到一般”以及分类讨论的思想方法.学习目标问题1什么叫圆心角？顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角.A问题2圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系？问题3在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.相等.如图∠AOB=弧AB的度数弧弦复习引入在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.ACB圆周角的定义一DEC观察这三个角，它们有何相同点？与∠AOC有何不同？DE当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.DEC观察图中的∠ABC,∠ADC,∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角.根据定义，发现圆周角需要具备几个条件？DEC观察图中的∠ABC,∠ADC,∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角.两个条件缺一不可：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.·COAB·COBA·COBA·COBA·COAB·COBA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√随堂检测（4）顶点不在圆上找一找：指出图中的圆心角和圆周角.随堂检测圆心角：圆周角：∠AOB,∠AOC,∠BOC∠BAC,∠ABC,∠ACB圆周角定理及推论二当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系？DEC类比圆心角探知圆周角DEC圆周角定理及推论二当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系？在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角.相等【已探】在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角.【猜想】相等为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.圆周角定理及推论二做一做：如图,∠AOB=80°，(1)请你画出几个AB所对的圆周角，思考圆周角和圆心有几种不同的位置关系？ABO（圆周角定理及推论二做一做：如图,∠AOB=80°，(1)请你画出几个AB所对的圆周角，思考圆周角和圆心有几种不同的位置关系？ABO（圆心与圆周角的位置有三种情况:圆心O在圆周角的内部圆心O在圆周角的一边上圆心O在圆周角的外部圆周角定理及推论二做一做：如图,∠AOB=80°，(1)请你画出几个AB所对的圆周角，思考圆周角和圆心有几种不同的位置关系？(2)这几个圆周角的大小有什么关系？这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你能用直观的方法验证猜想吗？（ABOABOABO圆周角定理及推论二直观的方法验证：量角器量、剪裁拼补……【发现】ABOABOABOC1C2C3圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的.一半同弧或等弧所对的圆周角.相等改变∠AOB的度数还成立吗？你能用几何方法证明结论吗？圆周角定理及推论二ABOC1ABOC2ABOC3先证哪一种？特殊情况推导与验证已知：如图，在圆O中，∠C1是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C1=∠AOB.12ABOC1证明：∵∠AOB是△AOC1的外角，∴∠AOB=∠C1+∠A.∵OA=OC1，∴∠A=∠C1.∴∠AOB=2∠C1..211AOBC即推导与验证已知：如图，在圆O中，∠C2是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C2=∠AOB.（提示：转化为第一种情况进行证明）12ABOC2OABOC2OODOOABOC2DAC2DBC2D.212AODDAC.212BODDBCDBCDACBAC222)(21BODAOD.21AOB推导与验证已知：如图，在圆O中，∠C3是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C3=∠AOB.（提示：转化为第一种情况进行证明）12OABOC3EABOC3OOEABOC3OOEAC3EBC3.213AOEEAC.213BOEEBCEBCEACBAC333)(21BOEAOE.21AOB圆周角定理及推论二ABOABOABOC1C2C3【圆周角定理】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的.一半【推论】同弧或等弧所对的圆周角.相等圆周角定理及推论二当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系？DEC∠ABC=∠ADC=∠AEC.21AOC随堂检测1.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的大小解：在⊙O中，∠BOC=50°BAC●O【圆周角定理】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的.一半随堂检测2.如图，哪个角与∠BAC相等，你还能找到那些相等的角？CABD解：∠BAC=∠BDC∠ADB=∠ACB∠CAD=∠CBD∠ABD=∠ACD【推论】同弧或等弧所对的圆周角.相等针对训练1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系，为什么？OABC解：∠BAC=2∠ACB，理由:.22221BACACBBACBOCBOCAOBAOBACB∵COBDA解：∵∠BCD=100°∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200°∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160°针对训练2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（）A．90°B．45°C．180°D．60°A针对训练4.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外），与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角课堂小结1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）√××能力提升2.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是.CABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2.2能力提升3.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，交AB于点E,则∠BAF等于.能力提升15°E菱形垂径定理∠BAF=∠AOF圆周角圆心角定理及推论sin∠AOF=得∠AOF=30°