信号检测与估计课后习题

三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：0122112::HxrHxrr其中，1r和2r是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。若似然比检测门限为，求贝叶斯判决表示式。解假设0H下，观测信号x的概率密度函数为1/2201(|)exp22xpxH假设1H下，2212xrr，而12(0,1),(0,1)rNrN，且相互统计独立。大家知道，若(0,1)krN，且(1,2,,)krkN之间相互统计独立，则21Nkkxx是具有N个自由度的2分布。现在2N，所以假设1H下，观测信号x的概率密度函数为22/2112/221(|)exp()2(2/2)21exp(),022xpxHxxx当0x时，1(|)0pxH。于是，似然比函数为1/2210exp,0(|)()222(|)0,0xxxpxHxpxHx当似然比检测门限为时，判决表达式为101/220exp,0222,0HHxxxHx成立对0x的情况，化简整理得判决表达式为101/2222lnHHxx四、（15分）已知被估计参量的后验概率密度函数为2(|)()exp[()],0pxxx（1）求的最小均方误差估计量^mse。（2）求的最大后验估计量^map。解（1）参量的最小均方误差估计量^mse是的条件均值，即^0220221(|)()[()]1()()2,msepxdxexpxdxxxx^0,msex（2）由最大后验方程^ln(|)|0mappx得^2[ln()ln()]1()|0mapxxx解得^^1,0,mapmapxxx七、（15分）若对未知参量进行了六次测量，测量方程和结果如下：182222202384404384n设初始估计值和估计量的均方误差分别为：^2000,试用递推估计求的线性最小二乘估计量^^1defsk和估计量的均方误差^122(1,2,,6)sdefkk；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。解我们知道，线性最小二乘估计量的构造公式为^1sHHHxT-1T()而单参量的线性最小二乘递推估计的公式为2212112^^^11[()]()kkkkkkkkkkkkhKhKxh这样，能够算出1,2,,6k的非递推估计结果和递推估计结果，如下表所示。