ch2平稳时间序列模型

AnalysisofTimeSeriesJijunKANGPh.DAssociateProfessorSchoolofEconomicsandBusinessAdministrationChongqingUniversity第二章平稳时间序列模型CHAPTER2STATIONARYTIME-SEREISMODELS时间序列建模timeseriesmodeling定义：对随机过程的顺序观测所形成的有序观测值序列，就称为时间序列，记为{y0,y1,y2,…,yt}。一个时间序列可看作是随机过程的一次实现，即一个样本；而产生时间序列的随机过程则称为时间序列的数据生成过程(datageneratingprocess，DGP)。Mostdatainmacroeconomicsandfinancecomeintheformoftimeseries–asetofrepeatedobservationsofthesamevariable,suchasGNPorastockreturn.Wecanwriteatimeseriesas{}{}12,,...,,1,2,...,TtxxxorxtT=Whatisatimeseries?时间序列数据的特点：时间序列是来自随机过程的一个样本，其前后数值具有相关性，过去决定或影响着现在与未来。研究时间序列，实质上是要了解其数据生成过程的特征和变化规律。Wewilltreatxtasarandomvariable.Inprinciple,thereisnothingabouttimeseriesthatisarcaneordifferentfromtherestofeconometrics.Theonlydifferencewithstandardeconometricsisthatthevariablesaresubscriptedtratherthani.Forexample,ifytisgeneratedby,(|)0tttttyxExβεε=+=thenOLSprovidesaconsistentestimateofβ,justasifthesubscriptwas“i”not“t”.时间序列建模timeseriesmodeling在单变量情形中，一个序列只用其自身的过去值和某个干扰项来建模。其一般表达式为：12(,,...,)ttttxfxxu−−=为了使该式可操作，必须设定函数形式，滞后变量的个数和干扰项的结构。由于时间序列是一个随机变量序列，变量的过去值影响或决定着现在，所以可以用随机差分方程来对其进行描述。如：中央银行的货币供给模型，假设货币供给目标以每年3％的速度增长，则时间序列模型——随机差分方程模型**1*0**0*-1(2.1)1.03(1.03)-ttttttmmmmmmmρ−==给定初始条件，则方程的特解为实际值和目标值之间存在差，由于不能完全控制货币的供给，假设美联储试图改变二者差额的％，用模型表示该行为为*-1*01(-)(2.1)(2.2)(1.03)(1)ttttttttmmmmmmρερρε−∆=+=+−+或者,从式，我们得到Whitenoise(白噪音)——离散型随机时间序列的基石Whitenoise(白噪音).Thebuildingblockforourtimeseriesmodelsisthewhitenoiseprocess,whichI’lldenoteεt.Intheleastgeneralcase,2~...(0,)tiidNεεσNoticethreeimplicationsofthisassumption:122121.()(|,,...)(|allinformationat-1)02.()cov()03.var()var(|,,...)var(|allinformationat-1)tttttttjttjttttttEEEtEtεεεεεεεεεεεεεεεσεσ−−−−−−========2如未作特别说明，｛｝总是代表白噪音过程，代表该过程的方差。随机差分方程模型——白噪音的应用11...MA()194qtitiitttqitxtxqqpβεεεεβ−=−−=∑现在用白噪音过程来构造时间序列对任意时期，依次取值，，，乘以对应的可计算出相应的，称该序列为阶移动平均序列，表示为。练习：习题，。求抛硬币“手气”的均值、方差和协方差。自回归移动平均ARMA模型1、ARMA模型的形式一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身过去值的影响，而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响，因此可建立其数据生成模型为：0112211......tttptpttqtqyaayayayεβεβε−−−−−=++++++++如果该模型的特征根都在单位圆内，则该模型就称为自回归移动平均模型——ARMA(p,q)。可以用和式简写为：010(2.5)pqtitiitiiiyaayβε−−===++∑∑AR、MA、ARIMA模型如果q=0，则该模型退化为：01122...tttptptyaayayayε−−−=+++++011...tttqtqyaεβεβε−−=++++称为p阶自回归模型，记作AR(p)。如果p=0，则该模型退化为：称为q阶移动平均模型，记作MA(q)。如果式(2.5)中有一个或多个特征根大于等于1，则称序列{yt}为积分过程，称式(2.5)为自回归求积移动平均模型(ARIMA)。ARIMA模型2、ARIMA模型(1)差分与积分(和分)对于一个变量序列yt，若记其差分(difference)为：∆yt=yt-yt-1则原变量序列就可用其差分表示为：yt=∆yt+∆yt-1+∆yt-2+…+∆y1+y0即原变量序列yt可用其差分之和表示，因此称为integration(积分、和分)。ARIMA模型(2)ARIMA模型的形式如果用变量yt本身的水平值建立的ARMA模型的特征方程有单位根，则需要先将yt差分后再建立ARMA模型，即：01111......tttptptqtqyaayayεβεβε−−−−∆=+∆++∆+++该模型就称为ARIMA(p,1,q)模型。如果变量yt的水平值ARMA模型的特征方程中有d个特征根，则需要先将变量序列yt差分d次，然后再建立ARMA模型，即：01111......tdddttptptqtqyaayayεβεβε−−−−∆=+∆++∆+++则该模型称为阶数分别为(p,d,q)的自回归和分移动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。ARMA模型3、ARMA模型的移动平均表示0112301111213011001111011,/(1-).../(1-)ARMA(,)......(...tttittttttiittptpttqtqtttyaayyaaaaaaaapqyaayayyaεεεεεεεβεβεεβεβ−∞−−−−=−−−−−=++=+++++=+=+++++++=++++∑对于一阶自回归模型：求特解得移动平均表达式为：对于一般模型：求特解则得移动平均表达式为：212)(1-...)(2.6)pqtqpaLaLaLε−−−−／滞后算子Lagoperators滞后算子的定义及其性质(1)定义：Liyt=yt-i(2)性质①常数的滞后仍是其本身，Lc=c.②分配律:(Li+Lj)yt=Liyt+Ljyt③结合律:LiLjyt=Li+jyt=yt-i-j④L的负指数为超前(向前,leadoperator)算子:L-iyt=yt+i⑤若|a|1,则无穷和(1+aL+a2L2+a3L3+…)yt=yt/(1-aL)⑥若|a|1,则无穷和:[1+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+…]yt=-aLyt/(1-aL)即:yt/(1-aL)=-(aL)-1[1+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+…]ytARMA模型4、稳定性条件ARMA(p,q)模型的移动平均表示是一个无限阶的移动平均过程MA(∞)，该无穷序列是否收敛决定了原随机差分方程是否稳定。(参见阅读材料：JohnH.Cochrane(2005)TimeSeriesforMacroeconomicsandFinance，第3.3节相关内容的推导)因此稳定性条件可表示为：Thestabilityconditionisthattherootsofthepolynomial(1-a1L-a2L2-…-apLp)mustlieoutsideoftheunitcircle.即：ARMA模型的逆特征方程(1-a1L-a2L2-…-apLp)的根都必须在单位圆外。时间序列的平稳性1、平稳性的定义(1)严平稳过程：如果一个随机过程的有穷维分布函数族不随时间的推移而改变，即对于任意正整数n和任意的t1,t1,…,tn∈T及实数τ，当t1+τ,t2+τ,…,tn+τ∈T时，都有：Fn(yt1+τ,yt2+τ,…,ytn+τ)=Fn(yt1,yt2,…ytn)则称此随机过程为严平稳过程或狭义平稳过程(stronglystationaryprocess)。时间序列的平稳性1、平稳性的定义(2)宽平稳过程：如果随机过程yt存在有穷的二阶矩，且均值和方差为常数，自协方差函数只与两时点的间隔长度有关，而与两时点的位置无关，即有对所有的t和t-s：22()()(2.7)()[()](2.8)(,)[()()](2.9)ttsttttsttssEyEyVaryEyCovyyEyyµµσµµγ−−−===−==−−=其中，μ,σ2,γs均为常数，则称此随机过程为宽平稳过程或二阶矩过程或广义平稳过程(widesensestationaryprocess)。1、平稳性的定义如果时间序列的均值和所有的自协方差不受时间变化影响，则该序列协方差平稳。文献中协方差平稳通常称为弱平稳、二阶平稳或广义平稳过程，本课程中仅考虑协方差平稳序列，因此本课程中的平稳即是指协方差平稳。在多元模型中，自协方差是指yt与其滞后项间的协方差，互协方差指一个序列和另外一个序列之间的协方差。特别的，对于一元时间序列模型，二者含义相同。1、平稳性的定义(3)严平稳过程与宽平稳过程的关系①宽平稳要求随机过程的前二阶矩平稳。一般来说，分布的前二阶矩不能决定整个分布函数，所以广义平稳不能保证狭义平稳。②严平稳要求整个分布函数平稳，但并不要求前二阶矩存在，所以是严平稳也未必就是宽平稳。只有前二阶矩存在的严平稳过程才一定是宽平稳过程。③由于正态分布的分布函数完全由前二阶矩决定，所以正态随机过程如果是宽平稳的，那么必定也是严平稳的。时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数(1)自协方差与自相关函数的计算自协方差：γs=Cov(yt,yt-s)=E[(yt-μ)(yt-s-μ)]称为s阶自协方差函数。显然，0阶自协方差函数为yt的方差：γ0=E(yt-μ)2=σy2自相关函数：ρs=γs/γ0称为s阶自相关函数。显然，0阶自相关函数等于1，有ρ0=1。时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数(2)自协方差γ与自相关函数ρ的性质①对称性：γs=γ-s，ρs=ρ-s；②非负定性，即由自协方差或自相关函数组成的矩阵是非负定矩阵。③|γs|≤γ0，|ρs|≤1。时间序列的平稳性3、平稳性的意义平稳过程一般都具有遍历性(ergodicity)，即可用时间平均去估计空间平均。遍历性：假设a为随机过程{yt}的某一参数或特征指标，若由样本函数构成的估计量â，使得当t→∞时，有：limE|â-a|2=0即有：plimâ=a则称序列{yt}关于a具有均方遍历性，简称遍历性。4、AR(1)过程平稳性的条件对于AR(1)过程：yt=a0+a1yt-1+εt假设过程从基期(0期)开始，初值为y0，则其递归解为：或其通解为：对式(2.10)取期望，得：这表明yt的均值随时间变化，序列yt是非平稳的。110110100(2.10)ttitittiiiyaaayaε−−−===++∑∑()011011tittiiayaAa