高等数学极限习题集500道汇总

-*．求证：存在，且，＝时，设当000limlimlim)()(11110xxxxxxooxx　　　答（　　）　　　　　　　　　　．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos)(1)1()(0312DCBAaxxaxxx（　　）　　　　　　　　　答　　　　　　　　　　　　　　　　　阶的是时，下述无穷小中最高当xxDxCxBxAxsin11cos1022之值．求)12ln()12ln(limnnnn．求极限)2sin()1(lim2nnnn．求极限)11ln()21(limnnn_____________sin1lim3202的值xxxexx．及求证：，，设有数列nnnnnnnnnnaaayaaaabbaaalim)(limlim2)(11221．及，求记：，　．，设nnnnnnnnnnnnxyxxyxxxxxabbxaxlimlim112)0(111221求极限之值．lim()cossinxxxxx0212设，；且试证明：．lim()lim()lim()()xxxxxxvxBuxAAvxBuxA0000　　　答（　　）　　　　　　　　　　．　　．　　．　　．2ln01)1ln(lim2)1(11DCBAxxx-*　　　答（　　）　　　　　　　　　　．　　．　　．　　．21)21(lim2sin0DeCeBAxxxx的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim)(lim11)(lim)(.1sin1)(0012xuxufxuuufuufxxxuxxu_____________69lim223的值等于xxxx．不存在　　．　　．　　．DCBAeeeexxxxx1231234lim答：（）lim()()()....xxxxABCD2361112335853　　　不存在答：（）____________)61()31()21(lim1522010xxxx____________lim0的值等于xxxeex．求极限123lim2331xxxxxx求之值．lim()xxxxx03416125已知：，问？为什么？lim()lim()()lim()xxxxxxuxuxvxAvx0000关于极限结论是：　　　　　　　　　不存在　　　　　　　　　　　　　　答（　　）limxxeABCD015353054-*答（　　）　　　　　　　　　　，则极限式成立的是，设)(lim.)()(lim.)()(lim.0)()(lim.)(lim)(lim)(000000xgxxxxxxxxxxxxxfDxgxfCxfxgBxgxfAxgAxf是不是无穷大量．时，，问当)(cos)(xfxxexfx　　答（　　）　　　　　　　　　　　　　不存在　　2.2...0.1arctantanlim0DCBAxxx答（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　2.1..0.)arctan(lim2DCBAxxx　　　答（　　）　　　　　　　　　　不存在　　　　　　.2.2.2.312lim2DCBAxxx___________)0(23)(1fexfx，则设　　　答（　　）　　　　　　　　　　　　不存在　　　　2....0.1cotarclim0DCBAxxlimcosln....xaxxaABCD0100123，则其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）____________cos13lim20的值等于xxeexxx-*lim(cos).....xxxABCD0212220　　　　　　不存在　　　答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，；　　、各取何值时，；　　、各取何值时，．fxpxqxxpqpqfxpqfxpqfxxxx()()lim()()lim()()lim()2555112031求极限．lim()()()()xnnnnxxxx2222222211求极限．lim()()xxx32232332之值．、、试确定已知CBAxxcxBAxx0)1()1()1(3lim2241之值．，，，试确定常数．，，满足已知dcbaxfxfxxdcxbxaxxfxx0)(lim)2(1)(lim)1(2)(1223之值．，，试确定已知baxxbxbax4313)(lim1为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若)(1lim0)(lim00xxxxxx当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．xxfxgxAxxfxgxxx000()lim()()()．用无穷大定义证明：112lim1xxx．用无穷大定义证明：xxlnlim0xxtanlim02用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：11lim01xx-*＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（　　）xxfxAfxAABCDxx00()lim()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是　　　．lim()lim()()lim()()lim()()()xxxxxxxxfxgxgxfxgxbfxbgxgx00000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0limaann．　　：用数列极限的定义证明)10(1lim1aann．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2nnnn___________)1ln(2)cos(sin1lim20的值等于xxx之值．求极限3sin01)(coslimxxxx-*-*设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim()()()xxfxAxxxxxxfxfx000010201221．，试用极限定义证明：已知：AxfAxfxxxx)(lim0)(lim00是否也必发散？同发散，试问数列与若数列nnnnyxyx求的表达式fxxxxnnn()lim2121-*设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．fxxxabxxabafxabfxffxfnnnxx()limsincos()()()()()lim()()lim()()2121121021211-*-*-*-*．求极限应用等阶无穷小性质，xxxx)1arctan()1arctan(lim0求极限．limxxxxx0215132求极限．lim()()xxxx012131416求极限　为自然数．．lim()()xnaxxna01110求极限．lim()xxxx3135223-*设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．xxxxfxxafxxgxAfxxgxAxxxxxx00001()()lim()()lim()()()lim()()()设当时，，是无穷小且证明：．xxxxxxeexxxx00()()()()~()()()()若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？xxxxxxxxxxxx0101()()()()()()()()设当时，、是无穷小，且证明：　　　与是等价无穷小．xxxxxxxxxx0011()()()().ln()ln()()()设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．xxfxgxxxfxgxgx00()()()()()吗？为什么？也是等价无穷小与无穷小。试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110xxxxxxxxxx-*-*limsin()()()()xxxABCD10　　　不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）limsin()()()()xxxABCD110之值　　　不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）-*已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）limtan(cos)ln()()()()()()()xxAxBxCxDeABCDABDBBDCACCAC011211022222)1()1)(1)(1(lim1242nxxxxxn计算极限设设及存在，试证明：．limlimnnnnnxxxaa011求lim(sincos)xxxx2212计算极限　lim()()xaxaxaxaa322210计算极限limxxxxxx23223322计算极限limln()cosxxxxeexx021)2cos2cos2(coslimlim20nnxxxx计算极限．，试证明及满足设有数列0lim)10(lim01nnnnnnnarraaaa，试按极限定义证明：，且满足设有数列)10(lim0rraaannnnn．0limnna．语言证明，试用　设AxfAAxfxxxx)(lim)0()(lim00试问：当时，，是不是无穷小？xxxx012()sin的某去心邻域，使得试证明：必存在，且，设0,)(lim)(lim00xBABxgAxfxxxx．在该邻域为)()(xgxf设，试研究极限fxxxfxx()sinlim()110计算极限．limln()arcsin()xxxx232312344　答（　　）　　　　　　　　　　大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量无穷大量是时，则当，设数列的通项为)()()()()1(12DCBAxnnnnxnnn-*以下极限式正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）()lim()()lim()()lim()()lim()AxeBxeCxeDxxxxxxxxx0011111111110设，　，，，求．xxxnxnnnn1110612()limabAaDaAbaCbAbaBAbaAAbaAxfxbxxexfxax可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，　　当，当设)()()(1)()(lim001)(0答：()aAAbaDAbaaCbAbaBaAbaAAbaAxfxbxxaxdxfxln)()()()()(lim00)1ln()(0仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当　　，　，当设答：（）　　　答（　　）　　　　　　　　　　可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，　　　，当设2)(2)(2)(2)()(lim00cos1)(2202aAbaDaAbaCaAbaBaAbaAAbaAxfxbxxaxxfx-*