CH4-3时间序列分析模型4-3-1时间序列的基本概念一、时间序列1、含义:指被观察到的依时间为序排列的数据序列。2、特点:(1)现实的、真实的一组数据,而不是数理统计中做实验得到的。既然是真实的,它就是反映某一现象的统计指标,因而,时间序列背后是某一现象的变化规律。(2)动态数据。2010年11月17日--2011年4月8日上证综指二、时间序列分析时间序列分析:是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法。其基本思想:根据系统的有限长度的运行记录(观察数据),建立能够比较精确地反映序列中所包含的动态依存关系的数学模型,并借以对系统的未来进行预报Wold分解定理(1938)•对于任何一个离散平稳过程它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和,其中一个为确定性的,另一个为随机性的,不妨记作其中:为确定性序列,为随机序列,它们需要满足如下条件(1)(2)(3)}{txtttVx}{tVt0jjtjt020,1jj),0(~2WNtstVEst,0),(确定性序列与随机序列的定义•对任意序列而言,令关于q期之前的序列值作线性回归其中为回归残差序列,。–确定性序列,若–随机序列,若}{t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVar三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分析:时间序列依据其特征,有以下几种表现形式,并产生与之相适应的分析方法:(1)长期趋势变化受某种基本因素的影响,数据依时间变化时表现为一种确定倾向,它按某种规则稳步地增长或下降。使用的分析方法有:移动平均法、指数平滑法、模型拟和法等;(2)季节性周期变化受季节更替等因素影响,序列依一固定周期规则性的变化,又称商业循环。采用的方法:季节指数;(3)循环变化周期不固定的波动变化。(4)随机性变化由许多不确定因素引起的序列变化。随机性变化分析:AR、MA、ARMA模型趋势变化分析确定性变化分析周期变化分析循环变化分析时间序列分析随机性变化分析:AR、MA、ARMA模型Cramer分解定理(1961)•任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加:其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分,另一部分是平稳的零均值误差成分,即}{txtttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0对两个分解定理的理解•Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂,是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。•Cramer分解定理是Wold分解定理的理论推广,它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是稳定的,而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。确定性时序分析的目的•克服其它因素的影响,单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响•推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响4-3-2时间序列趋势分析•目的–有些时间序列具有非常显著的趋势,我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势,并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测•常用方法–趋势拟合法–平滑法趋势拟合法•趋势拟合法就是把时间作为自变量,相应的序列观察值作为因变量,建立序列值随时间变化的回归模型的方法•分类–线性拟合–非线性拟合线性拟合•使用场合–长期趋势呈现出线形特征•模型结构)(,0)(ttttIVarIEIbtax非线性拟合•使用场合–长期趋势呈现出非线形特征•参数估计指导思想–能转换成线性模型的都转换成线性模型,用线性最小二乘法进行参数估计–实在不能转换成线性的,就用迭代法进行参数估计常用非线性模型模型变换变换后模型参数估计方法线性最小二乘估计线性最小二乘估计--迭代法--迭代法--迭代法2ctbtaTtttabTttbcaTtbcateTttbcaT122ttttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt时间序列预测法时间序列预测法可用于短期预测、中期预测和长期预测。根据对资料分析方法的不同,又可分为:简单序时平均数法、加权序时平均数法平滑法平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术,削弱短期随机波动对序列的影响,使序列平滑化,从而显示出长期趋势变化的规律•简单平均数法:也称算术平均法。即把若干历史时期的统计数值作为观察值,求出算术平均数作为下期预测值。这种方法基于下列假设:“过去这样,今后也将这样”,把近期和远期数据等同化和平均化,因此只能适用于事物变化不大的趋势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势,就不宜采用此法。•加权平均数法:就是把各个时期的历史数据按近期和远期影响程度进行加权,求出平均值,作为下期预测值。移动平均法•基本思想–假定在一个比较短的时间间隔里,序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定,我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值•分类–n期中心移动平均–n期移动平均移动平均期数确定的原则•事件的发展有无周期性–以周期长度作为移动平均的间隔长度,以消除周期效应的影响•对趋势平滑的要求–移动平均的期数越多,拟合趋势越平滑•对趋势反映近期变化敏感程度的要求–移动平均的期数越少,拟合趋势越敏感移动平均预测)(1ˆ21nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,,ˆ比较:Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p=4-3-4随机时间序列模型一、随机时间序列模型的基本概念及其适用性一、时间序列模型的基本概念随机时间序列模型(timeseriesmodeling)是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型,其一般形式为Yn=F(Yn-1,Yn-2,…,n)建立具体的时间序列模型,需解决如下三个问题:(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如,取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项(n=n),模型将是一个1阶自回归过程AR(1):Yn=aYn-1+n这里,n特指一白噪声。一般的p阶自回归过程AR(p)是Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(n=n),则称(1)式为一纯AR(p)过程(pureAR(p)process),记为Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n(2)如果n不是一个白噪声,通常认为它是一个q阶的移动平均(movingaverage)过程MA(q):n=n-c1n-1-c2n-2--cqn-q该式给出了一个纯MA(q)过程(pureMA(p)process)。一般的p阶自回归过程AR(p)是Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n(1)将纯AR(p)与纯MA(q)结合,得到一个一般的自回归移动平均(aunoregressivemovingaverage)过程ARMA(p,q):Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n-c1n-1-c2n-2--cqn-q该式表明:(1)一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成,即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。(2)如果该序列是平稳的,即它的行为并不会随着时间的推移而变化,那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。需要说明的是,在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中,ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。如果包含常数项,该常数项并不影响模型的原有性质,因为通过适当的变形,可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型qtqttptpttXXX1111方程两边同减/(1-a1--ap),则可得到qtqttptpttxxx1111其中piiXx11pttti,,1,二、随机时间序列模型的平稳性条件自回归移动平均模型(ARMA)是随机时间序列分析模型的普遍形式,自回归模型(AR)和移动平均模型(MA)是它的特殊情况。关于这几类模型的研究,是时间序列分析的重点内容:主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。1、AR(p)模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性,可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的,就说该AR(p)模型是平稳的,否则,就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n则称多项式方程(z)=(1-a1z-a2z2-…-apzp)=0为AR(p)的特征方程(characnerisnicequanion)。可以证明,如果该特征方程的所有根在单位圆外(根的模大于1),则AR(p)模型是平稳的。例4.3.1AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望,得到Xn的方差由于Yn仅与n相关,因此,E(Yn-1n)=0。如果该模型稳定,则有E(Yn2)=E(Yn-12),从而上式可变换为:在稳定条件下,该方差是一非负的常数,从而有|a|1。而AR(1)的特征方程的根为z=1/aAR(1)稳定,即|a|1,意味着特征根大于1。注意对比一下差分方程的稳定性?差分方程的特征方程与特征根?例6.3.2AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型方程两边同乘以Yn,再取期望得:又由于于是同样地,由原式还可得到于是方差为由平稳性的定义,该方差必须是一不变的正数,于是有a1+a21,a2-a11,|a2|1这就是AR(2)的平稳性条件,或称为平稳域。它是一顶点分别为(-2,-1),(2,-1),(0,1)的三角形。2(0,1)1(-2,-1)(2,-1)图9.2.1AR(2)模型的平稳域对应的特征方程1-a1z-a2z2=0的两个根z1、z2满足:z1z2=-1/a2,z1+z2=-a1/a2AR(2)模型解出a1,a2由AR(2)的平稳性,|a2|=1/|z1||z2|1,则至少有一个根的模大于1,不妨设|z1|1,有0)11)(11(21zz于是|z2|1。由a2-a11可推出同样的结果。对高阶自回模型AR(p)来说,多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根,但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性:(1)AR(p)模型稳定的必要条件是:a1+a2++ap1(2)由于ai(i=1,2,p)可正可负,AR(p)模型稳定的充分条件是:|a1|+|a2|++|ap|1对于移动平均模型MR(q):Yn=n-c1n-1-c2n-2--cqn-q其中n是一个白噪声,于是2、MA(q)模型的平稳性当滞后期大于q时,Yn的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合:Yn=a1Yn-1+a2Yn-2+…+apYn-p+n-c1n-1-c2n-2--cqn-q3、ARMA(p,q)模型的平稳性而MA(q)模型总是平稳的,因此ARMA(p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时,则该ARMA(p,q)模型是平稳的,否则,不是平稳的。最后:(1)一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型;(2)一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的,对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。因此,如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分,将它变为平稳的,然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型,则我们就说该原始时间序列是一