《结构动力学》PPT课件

12lldxxYxmtdxvxmT022202)()()(cos21)(21§10-6近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T和应变能U之和应等于常数。※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：Umax=Tmaxω※求Umax，TmaxlldxxYEItdxxyEIU0220222)]([)(sin2121※求频率如梁上还有集中质量mi，位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy设：.ldxxYxmT022max)()(21ldxxYEIU02max)]([21Yi为集中质量mi处的位移幅值。liilYmdxxYmdxxYEI022022)]([)]([22020[()][()]llEIYxdxmYxdx3※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件：（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第n主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即ldxxYxqU0)()(2120202)]([)()(iillYmdxxYmdxxYxq4lldxxYmdxxYEI02022)]([)]([2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x))2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287.9例12试求等截面简支梁的第一频率。1）假设位移形状函数为抛物线)()(xlxxYlmEIyx满足边界条件且与第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl295.103）假设lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精确解。精确解mEIl28696.95xh0l例求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为1，高度为h=h0x/l。解：单位长度的质量：设位移形状函数：2)1()(lxaxY满足边界条件：0)(,0)(lYlYlldxxYmdxxYEI02022)]([)]([ElhlEh204202581.1,25Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。30121lxhIlxhm0截面惯性矩：相比误差为3%与精确解Elh20534.161、假设多个近似振型n21,都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合（a1、a2、·········、an是待定常数）nnaaaxY2211)(3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。所选的a1，a2，…，an使ω2获得最小值的条件是),,2,1(,02niai这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低n阶频率来。阶次越低往往越准。为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，Ritz提出了改进方法：8例：用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）Y’=0Y=032212211xaxaaaY设：只取第一项2121x代入：ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入频率方程：0][][2mkmEIllmEIlmEIl2142521472.4,20054其精确解：mEIl21516.3与精确解相比，误差为27%。9例：用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：32212211xaxaaaY取两项xxx6;2232121代入：ljiijljiijdxmmdxEIk00,7665][,12664][7665322lmlmlmlmmEIlEIlEIlEIlk代入频率方程：求得kij，mij：012766664542424242EIlmEIlmEIlmEIlm求得最初两个频率近似值：mEIlmEIl222181.34533.3（0.48%）（58%）mEIlmEIl222103.22516.3精确解：说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，故第二频率不准。2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。102、集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解例15试用集中质量法求简支梁自振频率。11lmmEIlmEIlmEIl23222183.88,84.39,87.9:精确解2lml/3l/34lm4lm,80.9:21mEIl解得(－0.7%）l/3l/3l/3l/34lm8lm4lm4lm8lm3lml/3l/3l/36lm6lm3lmmEIlmEIl22212.38,86.9:解得(－0.1%）(－3.1%）mEIlmEIlmEIl2322216.842.39,865.9:解得(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）12一、振型分解法(不计阻尼)运动方程)()()(tPtyktym1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设1()()NiiiytYDt),2,1(Nj11(())(())()NNiiiiiimYDtkYDtPt11(())(())()NNTTTiijijijiiYmYDtYkYDtYPt()()()TTTjjjjjjjYmYDtYkYDtYPt)()()(***tPtDKtDMjjjjj*jM---j振型广义质量*jK---j振型广义刚度)(*tPj---j振型广义荷载)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系2jjjkYmY2TTjjjjjYkYYmY**2/jjjMK§10-7振型分解法13一.振型分解法(不计阻尼)运动方程)()()(tPtyktym1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设1()()NiiiytYDt),2,1(Nj)()()(***tPtDKtDMjjjjj*jM---j振型广义质量*jK---j振型广义刚度)(*tPj---j振型广义荷载)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求位移;1()()NiiiytYDt14例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:*1112TMYmYm*11sin()()11sin0TPtPtYPtPt计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求组合系数;1()()NiiiytYDt1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y*2222TMYmYm*22()()sinTPtYPtPt15例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:*1112TMYmYmtPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y*2222TMYmYmtPtPXtPTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD)(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtDtEIPltDsin101054.0)(32211,1()sinstDtDttmPsin/1122221116例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y11,1()sinstDtDttmPsin/11222211tEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtDtEIPltDsin101054.0)(3221212()ytYDYDtEIPltEIPltytysin101054.011sin10411.211)()(323221tEIPlsin103059.25167.23217例一.求图示体系的稳态振幅.mmm21解:1m2m)(1tytPsin)(2tyEI3/415.3mlEI3231045.22692.5mlEImlEI111Y211Y2211)(DXDXty2211)(DXDXtytEIPltEIPltytysin101054.011sin10411.211)()(323221tEIPlsin103059.25167.232EIPlAA3