高中数学竞赛辅导

1转化法巧用换元法引入其他方法竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式2递推数列有关概念：①递推公式：一个数列{}na中的第n项na与它前面若干项1na,2na,…,nka（kn）的关系式称为递推公式.②递推数列：由递推公式和初始值确定的数列.③线性递推数列:(见课本116P)2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法：⑴转化法(经常用的);⑵归纳法(先猜想,后证明(用数学归纳法));⑶换元法(针对特点考虑换元);⑷迭代法(累加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理1)竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式3转化法:这里需要恰当的变形……练习1思考2思考1.已知数列{an}中，a1=35，an+1=21nnaa，求{an}的通项公式．解：(倒数变形)121112nnnnaaaa∴1na是以53为首项，公差为2的等差数列，即153na+2（n－1）=613n∴an=361n类似地,教程第120页例3(自学)4练习1.(教程12712P)数列nx定义如下:2111,2nnnxxxx.求122007111111Sxxx的整数部分.15思考3.已知函数4444(1)(1)()(1)(1)xxfxxx(0x),在数列{}na中,12a,1()nnafa(Nn)，求数列{}na的通项公式．解:∵4444114441(1)(1)1(1)111(1)(1)(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，(取对数变形)∴1111ln4ln11nnnnaaaa，由此及111lnln301aa知：数列1ln1nnaa是首项为ln3，公比为4的等比数列，思考2.已知110a,4110nnaa(*nN),求通项公式na.故有11141441131ln4ln331131nnnnnnnnnaaaaa（nN）.……1211lg()343nna……6练习2.(教程11513P)已知110a,110nnaa(*nN),求通项公式na.练习3.(教程1279P)各项为正数的数列na中,121,10aa,23121nnnaaa(3n≥,*nN),求通项公式na.1121()210n112210n法一:取对数变形法二:作商用迭加法也很好!取对数变形,中间的突破用“特征根法”非常好！7思考4.已知数列{an}中，a1=2，an=1111nnaa，求{an}的通项公式．思考5练习4解：(三角换元)令an－1=tan，则an+1=tantan41tantan4=tan4∴an=tan(1)tan24natc．一般地，可仿第122页例5的处理方法试试看.思考5.设01a,21111nnnaaa*nN,求通项公式na.8解:易知0na，构建新数列n，使tannna,0,2n类似地，有第110页例5的第一种情况的处理方法(自学)思考5.设01a,21111nnnaaa*nN,求通项公式na.2111111tan11costantansin2nnnnnna1tantan2nn,12nn又01a,121tan8a,从而18,∴新数列n是以8为首项，12为公比的等比数列.∴121282nnn∴2tan2nna山重水尽疑无路……9练习4.(教程1264P)给定数列nx,11x,且1313nnnxxx,求通项公式nx.解:令tannnx，∵131tan()63nnnnxxx∴可构建新数列n，使tannnx且16nn,14，∴tan[(1)]46nxn抓住式子特点,三角换元妙!10待定系数法:（an+1=pan+r类型数列）练习5.在数列{an}中,an+1=2an－3,a1=5,求{an}的通项公式．练习7、8(an+1=pan+f(n)类型)练习6.已知数列{an}中，a1=1，且113nnnaa(2n≥)，求{an}的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．解：设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－12．所以32nna是常数列，且a1－32=－12．所以32nna=－12，即an=312n11练习7.(教程1265P)给定数列nx,10x,且121nnnxxnn,则nx=____.(1)142nn练习8.(教程1268P)给定数列na满足12a,111nnaa,则19981kka=____.999