DSP 第一章 离散时间信号与系统

天津师范大学计算机与信息工程学院1.1离散时间信号——序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样第1章离散时间信号和系统天津师范大学计算机与信息工程学院1.1离散时间信号——序列1.1.1序列的定义1.1.2序列的基本运算1.1.3常用的基本序列1.1.4序列的周期性1.1.5用单位脉冲表示任意序列天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.1序列的定义信号在数学上定义为一个函数，这个函数表示一种信息，通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是关于一个或几个独立变量的，关于一个独立变量的信号称为一维信号，关于多个独立变量的信号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信号是一维信号x(t),一般情况下x(t)为随时间变化的信号，简称时间信号或时域信号。天津师范大学计算机与信息工程学院若t是定义在时间上的连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT)，T表示的是采样点之间的时间间隔，n是一个整数。离散时间信号可以表示成下列形式：｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...天津师范大学计算机与信息工程学院在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为：｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...{x(n)}定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，{x(n)}没有定义，但并不表示信号值为零。从数学的角度看，上面的定义式表示一个序列，所以也把离散时间信号称作离散时间序列，常常简化为x(n)。天津师范大学计算机与信息工程学院序列除了数学表达式外，还常常采用图形方式来表示，如图1.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。图1.1离散时间信号的图形表示n01234567891011-1-2-3-4-5-6x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号在幅度上定义成连续的，如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此，离散时间信号并不等于数字信号，但由于数字信号是幅度量化得到的，在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.2序列的基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列的能量卷积和天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的和设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列的和例1.1.1设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的和x(n)+y(n)。2,0()1,0nnynnn＜≥解：12,13()(),1221,0nnnxnynnnn＜≥天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列求和图示12,13()(),1221,0nnnxnynnnn＜≥天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的积设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)•y(n)表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列的积例1.1.2设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的积x(n)•y(n)。2,0()1,0nnynnn＜≥解：10,11()(),12(1)2,0nnxnynnnn＜≥天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列求积图示10,11()(),12(1)2,0nnxnynnnn＜≥x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的移位设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)表示将序列x(n)进行移位。m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列的移位例1.1.3设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的移位序列x(n+1)。解：22,11(1)0,11nnxnn≥＜天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列移位图示x(n)22,11(1)0,11nnxnn≥＜天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的标乘设序列为x(n)，a为常数(a≠0)，则序列y(n)=ax(n)表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列的标乘例1.1.4设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列4x(n)。解：12,14()0,1nnxnn≥＜天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的翻转设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)表示以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。天津师范大学计算机与信息工程学院例：序列的翻转例1.1.5设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列x(-n)。解：12,1()0,1nnxnn≤＞天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的累加设序列为x(n)，则序列定义为对x(n)的累加，表示将n以前的所有x(n)值求和。nkkxny)()(天津师范大学计算机与信息工程学院例:序列的累加设序列为则其累加序列即…y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7…0002)(nnnxn0002)(0nnnynkn天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的差分前向差分：将序列先进行左移，再相减Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：将序列先进行右移，再相减▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此容易得出▽x(n)=Δx(n-1)天津师范大学计算机与信息工程学院多阶差分运算二阶前向差分)()1(2)2()()1()()]([2nxnxnxnxnxnxnx)2()1(2)()1()()()]([2nxnxnxnxnxnxnx二阶后向差分单位延迟算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-Dk阶后向差分(按二项式定理展开)二阶后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院例:差分运算例1.1.6设序列求Δx(n)和▽x(n)。解：前向差分101)21()(1nnnxn202)21()1(2nnnxn1)21(212120)()1()(1nnnnxnxnxn天津师范大学计算机与信息工程学院例:差分运算101)21()(1nnnxn000)21()1(nnnxn0)21(211110)1()()(nnnnxnxnxn后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—时间尺度(比例)变换设序列为x(n)，m为正整数，则序列抽取序列：y(n)=x(mn)(/),,0,1,2,()0,xnmnmllznn其它x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。插值序列：天津师范大学计算机与信息工程学院抽取序列x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按比例增加到m倍以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留x(0)天津师范大学计算机与信息工程学院插值序列x(n/m)：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点保留x(0)天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的能量设序列为x(n)，则序列定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和；若为复序列，取模值后再求平方和。2|()|nExn天津师范大学计算机与信息工程学院基本运算—序列的卷积和设序列为x(n)和z(n)，则序列定义为序列x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。()()()()()mynxnznxmznm天津师范大学计算机与信息工程学院卷积和计算的四个步骤翻转：x(m)，z(m)→z(-m)移位：z(-m)→z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位相乘：z(n-m)•x(m)（m值相同）相加：y(n)=∑{z(n-m)•x(m)}天津师范大学计算机与信息工程学院对应点相乘！例：卷积和计算例1.1.7设序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：n＜0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。0≤n≤4时，对应点相乘！天津师范大学计算机与信息工程学院例：卷积和计算4＜n≤6时，6＜n≤10时，n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.3几种常用序列单位脉冲(抽样)序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列天津师范大学计算机与信息工程学院单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零δ(n)类似于δ(t)0,00,1)(nnnmnmnmn0,1)(δ(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零天津师范大学计算机与信息工程学院单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义，u(n)在n=0时为u(0)=11,0()0,0nunn≥＜1,()0,nmunmnm≥＜δ(n)和u(n)的关系：δ(n)=u(n)-u(n-1)天津师范大学计算机与信息工程学院单位矩形序列N为矩形序列的长度1,01()0,NnNRn≤≤其它和u(n)、δ(n)的关系：天津师范大学计算机与信息工程学院实指数序列a为实数()()nxnaun当|a|＜1时序列收敛当|a|＞1时序列发散天津师范大学计算机与信息工程学院正弦序列A为幅度ω为数字域角频率φ为起始相位x(n)由x(t)=sinΩt取样得到x(n)=Asin(ωn+φ)归一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω与Ω线性关系)天津师范大学计算机与信息工程学院复指数序列ω为数字域角频率用实部与虚部表示用极坐标表示()e(cosjsin)ecosejsinnnnxnnnnnjarg[()]j()()eeexnnnxnxnσ=0时，序列具有以2π为周期的周期性复指数序列在实际中不存在，它是为了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。天津师范大学计算机与信息工程学院1.1.4序列的周期性对于序列x(n)，如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足x(n)=x(n+N)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)则有x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)若满足条件ωN=2kπ，则x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院周期性讨论N、k为整数，k的取值满足条件，且保证N是最小正整数。其周期为2π/ω为整数时，取k=1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2π/ω。