e第五章平稳时间序列预测

02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%`应用时间序列分析第五章平稳时间序列预测2本章介绍利用ARMA模型进行平稳时间序列预测的理论与方法。具体要求：①理解平稳线性最小均方误差预测的含义；②熟悉条件期望预测以及预测的三种形式；③掌握ARMA模型差分方程形式的预测方法；④掌握预测值的适时修正方法。3考虑以为原点，向前期(或步长)为的预测tl)(ˆlXt预测误差为)(ˆ)(lXXletltt预测误差的均方值为})](ˆ{[)]([22lXXEleEtltt使上式达到最小的线性预测称为平稳线性最小均方误差预测（也称为平稳线性最小方差预测）4第一节条件期望预测))(),((~...),,(21ltlttttltXVarXENXXXX...),,(()(ˆ21tttlttXXXXElX几条性质ktttkXXXXXE...),,(21ktttkaXXXaE...),,(21)(tk)(tk0...),,(21tttltXXXaElttttltXXXXXEˆ...),,(21)0(l)0(l5第二节预测的三种形式ARMA模型的三种表示形式差分方程形式传递形式逆转形式mtmtttntntttaaaaXXXX......22112211jtjjtaGX0tjtjjtaXIX16一、由ARMA模型的传递形式进行预测jltjjltaGX0jtjjltttjltjjtttlttaGXXXaEGXXXXElX021021...),,(...),,(()(ˆ711110...)(ˆ)(tlltlttlttaGaGaGlXXle)...(})](ˆ{[)]([21222120222latlttGGGGlXXEleE)...(})](ˆ{[)]([)(21222120222latltltltltGGGGlXXEXEXEXVar2121222120)...(96.1ˆlaltGGGGX8jtjjtaGlX0*)(ˆ])(...[])()...[(})](ˆ{[02*21222120220*111102jjjllajtjjjltlltlttltGGGGGGaGGaGaGaGElXXEjtjjltaGlX0)(ˆ这说明条件期望预测与最小均方误差预测是一致的的线性组合的预测值表示为将,,,21tttltaaaX9二、用ARMA模型的逆转形式进行预测ltjltjjltaXIX1jltljjtljjtttjltjjtttlttXIjlXIXXXXEIXXXXElX)(ˆ...),,(...),,()(ˆ112112110三、用ARMA模型(即差分方程形式)进行预测1AR(1)模型预测ltltltaXX11)1(ˆ...)],,)([)(ˆ12111lXXXXaXElXttttltltt0)1(ˆ)(ˆ1lXlXtttltXlX1)(ˆ112ARMA(1,1)模型预测1111ltltltltaaXXtttttttttaXXXXaaXEX1121111...)],,)([)1(ˆ11111)1(ˆttttttaXXXXa)1(ˆ...)],,)([)(ˆ1211111lXXXXaaXElXttttltltltt0)1(ˆ)(ˆ1lXlXtt1l12ltttaXlX111)()(ˆlttblX10)(ˆ0)1(ˆ)(ˆ1lXlXtt该差分方程的通解为由一步预测结果求出待定系数可得预测函数的形式是由模型的自回归部分决定的，滑动平均部分用于确定预测函数中的待定系数，使得预测函数“适应”于观测数据。133MA(1)模型预测11ltltltaaXtttttttaXXXaaEX12111...)],,)([)1(ˆ111)1(ˆtttttaXXXa0)(ˆlXt对于MA(m)模型而言，超过m步的预测值均为零，这与MA序列的短记忆性是吻合的。当预测步数超过1时144．ARMA(n,m)模型预测的一般结果mltmttlnltntltltttttlttaaaXXXlXlXXXXXElX......)1(ˆ...)2(ˆ)1(ˆ...),,()(ˆ1212121)(ˆ...)2(ˆ)1(ˆ)(ˆ21nlXlXlXlXtnttt当预测步数超过m时)(...)()()(ˆ111100lfblfblfblXntnttt该差分方程的通解为0...111nnnn通常它们可能包含多项式、指数、正弦和余弦以及这些函数的乘积。其中的函数形式由下面特征方程的根决定15对于平稳ARMA(n,m)模型，随着超前步数的增大，预测值趋于零(实际上是序列的均值)。【例5-1】设适合以下ARMA(2，1)模型已知：分别为求和预测函数。tX1213.05.08.0tttttaaXXXttttXXXX,,,123,0,6.0,5.2,2,12ta)2(ˆ),1(ˆttXX)(ˆlXt4.003.0)1(5.028.05.23.05.08.023211tttttaXXXa1628.04.03.025.05.28.06.03.05.08.0121tttttaXXXa07.0)28.0(3.005.25.06.08.0)3.05.08.0()()1(ˆ111ttttttaaXXEXEX244.06.05.007.08.05.0)(8.0)3.05.08.0()()2(ˆ11212ttttttttXXEaaXXEXEX170)2(ˆ5.0)1(ˆ8.0)(ˆlXlXlXttt05.08.02)cossin()58.04.0()(ˆ1022lblblXttlt41.554.058.0arctgi58.04.0由前面的一步和两步预测结果可以求出待定系数。18【例5-2】利用例4.1所建模型进行预测，模型为当t=57、58、59、60时，分别为52、-75、66、-96。在t=60（1997年12月）作超前一步和两步预测。1200.134.043.0ttttaaXXtX058a为了计算方便，不妨设5859575900.134.043.0aaXX89.47000.15234.043.06600.134.043.058575959aXXa1904.2389.4700.1)75(34.043.09600.134.043.059586060aXXa91.45)04.23(00.106634.043.0)00.134.043.0()()1(ˆ6016016016060aaXEXEX21.32000.10)96(34.043.0)00.134.043.0()()2(ˆ1602606026060aaXEXEX04.16000.1091.4534.043.0)00.134.043.0()()3(ˆ26036016036060aaXEXEX20预测图示21第三节预测值的适时修正在进行超前多步预测时，随着时间的推移，原来的一些预测值变为已知，这时需要进行新的预测，以便利用最近的信息。jtjjltaGlX01)1(ˆjtjjltaGlX101)(ˆ11)1(ˆ)(ˆtlttaGlXlX新的预测值可以由旧的预测值和新的观察值(新息)推算出来，即新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随预测超前步数而变化。22【例5-3】对于例5-2,假设我们已知道观测值,试利用前面t=60时的预测值计算和。2061X)1(ˆ61X)2(ˆ61X10G1111G34.002112GGG91.6591.4520)1(ˆ606161XXa237.33)91.65()1(21.32)2(ˆ)1(ˆ6116061aGXX37.6)91.65(34.004.16)3(ˆ)2(ˆ6126061aGXX24llG)1(ˆ1tX)2(ˆ2tX)3(ˆ3tXttXta超前期格林函数1-120.343-0.34...预测45.9133.7-32.21-6.3716.0411.89596660-9661-20-65.91626364