极值点偏移(自主整理)学生版

极值点偏移专题第1页共8页极值点偏移问题一、知识要点1.极值点偏移的含义众所周知，函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf，则函数)(xf关于直线mx对称；可以理解为函数)(xf在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(xf为单峰函数，则mx必为)(xf的极值点.如二次函数)(xf的顶点就是极值点0x，若cxf)(的两根的中点为221xx，则刚好有0212xxx，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(xf的极值点为m，且函数)(xf满足定义域内mx左侧的任意自变量x都有)2()(xmfxf或)2()(xmfxf，则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数21,xx满足)()(21xfxf，则221xx与极值点m必有确定的大小关系：若221xxm，则称为极值点左偏；若221xxm，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]2.极值点偏移问题的一般题设形式：①若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；②若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；③若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，令2210xxx，求证：0)('0xf；④若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，令2210xxx，求证：0)('0xf.3.对数均值不等式（解答题中使用时要先证明：证明方法（消元））极值点偏移专题第2页共8页两个正数ba,的对数平均数baababababaL,,lnln),(①设0,ba，则abbababalnln2，其中babalnln被称之为对数平均值。②（对数均值不等式链）设0ab，则baabbababa112lnln2。二、典型例题类型1：不含参极值点偏移问题1.（2010年天津）已知函数Rxxexfx)(，如果21xx且)()(21xfxf，证明：221xx类型2：含参极值点偏移问题1.已知函数xaexxf)(有两个不同的零点21xx，，求证：221xx极值点偏移专题第3页共8页2.已知21ln2fxxxmxx，mR．若fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212exx（e为自然对数的底数）．3.（2016年课标I卷21题）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点21,xx.证明：122xx.极值点偏移专题第4页共8页三、课后练习1.已知函数lnfxxx．（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）若方程fxm(2)m有两个相异实根1x，2x，且12xx，证明：2122xx.2.已知函数2axgxxeaR，e为自然对数的底数.（1）讨论gx的单调性；（2）若函数2lnfxgxax的图象与直线ymmR交于AB、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：00fx（fx为函数fx的导函数）极值点偏移专题第5页共8页3.已知函数2lnfxxxaxxaaR在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a的取值范围.（2）设fx的两个极值点为12,xx，证明212xxe.4.已知函数1()ln()fxaxaRx有两个零点1212,()xxxx，求证：112231axxe.极值点偏移专题第6页共8页5.已知函数2xfxaxeaR在0,上有两个零点为1212,()xxxx.（1）求实数a的取值范围；（2）求证：124xx.6.已知函数xfxeaxaaR，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数yfx的单调性；（2）若函数fx有两个零点12,xx，证明：122lnxxa.极值点偏移专题第7页共8页7.已知函数2()ln(2).fxxaxax（1）讨论()fx的单调性；（2）设0a，证明：当10xa时，11()()fxfxaa；（3）若函数()yfx的图象与x轴交于,AB两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0()0fx.8.已知函数lnxfxxa（aR），曲线yfx在点1,1f处的切线与直线10xy垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数gxfxk有两个不同的零点12,xx，证明：212•xxe.极值点偏移专题第8页共8页9.已知函数xaxaxxfln121)(2.（Ⅰ）讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）设0a，证明：当ax0时，)()(xafxaf；（Ⅲ）设12,xx是)(xf的两个零点，证明：120(2)xxf.10.已知函数lnfxx.（1）证明：当1x时，2110xxfx；（2）若函数2gxfxxax有两个零点1x，2x（12xx，0a），证明：12213xxga.