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复习有方法数学理板块一高考专项突破——选择题+填空题命题区间精讲精讲14直线与圆、抛物线命题点1命题点2栏目导航0102命题点303命题点404命题点1直线的方程及应用01抓住直线方程的特征及相关公式求解(1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．②若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1.(2)求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)两个距离公式①两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2(A2＋B2≠0)．②点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(A2＋B2≠0)．[高考题型全通关]1．(2020·广东六校第三次联考)已知直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是()A．m＝－2B．m＝1C．m＝－2或m＝1D．m＝2或m＝1C[∵直线l1：x＋(m＋1)y＋m＝0，l2：mx＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则m(m＋1)－2＝0，解得m＝－2或m＝1；当m＝1时，l1与l2重合，故“l1∥l2”⇔“m＝－2”，故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝－2或m＝1”，故选C.]2．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B.2C.3D．2B[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝|k·0＋－1·－1＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1＝k2＋2k＋1k2＋1＝1＋2kk2＋1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1＋2kk2＋1＝1＋2k＋1k，要使d最大，需k＞0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B.法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1,0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝2，故选B.]3.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．1C．83D．43D[以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．设△ABC的重心为D，则D点坐标为43，43，设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴对称点P1为(－m,0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即4343＋m＝43－4＋m43－4，解得m＝43或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝43.故选D．]4．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)和Q2(a2，b2)的直线方程为________．2x＋3y＋1＝0[由题意可知2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0.∴(a1，b1)和(a2，b2)是方程2x＋3y＋1＝0的两个解，从而过点Q1、Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.]命题点2圆的方程及应用021．圆的方程(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)；(方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆⇔A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF＞0)．(3)直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2构成直角三角形的三边，利用其关系r2＝d2＋l22来处理．[高考题型全通关]1．圆C是以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－2)2＝16C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16A[由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过2x＋y＋2＝0，x＋y＝0的交点，解得：x＝－2，y＝2，即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故选A．]2．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为()A．π6或5π6B．－π3或π3C．－π6或π6D．π6A[由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝|2k|1＋k2，由d2＋2322＝r2，可得4k21＋k2＋3＝4，解得k＝±33.设直线的倾斜角为α，则tanα＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6.]3．[高考改编]已知圆C：x＋12＋y2＝r2(r0)，直线l：3x＋4y－2＝0.若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为()A．2B．3C．4D．6A[圆C的圆心为(－1,0)，则圆心C到直线l的距离d＝|3×－1－2|32＋42＝1，又圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，所以圆心为(－1,0)到直线l的距离为d＝r2，即d＝r2＝1，所以r＝2，故选A．]4．[一题两空]已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4)5[由题意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，不表示圆．]5．[教材改编]过点A(－1,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________.y＝4或3x＋4y－13＝0[由题意可知，切线l的斜率存在．设方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，∴d＝|2k－3＋k＋4|k2＋1＝1，∴4k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－34.故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.]6．[高考改编]已知A，B分别是双曲线C：x2m－y22＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________．x2＋(y－3)2＝10[∵P(3,4)为C上一点，9m－162＝1，解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝42＝2，PB的中垂线方程为y＝－12(x－2)＋2，令x＝0，则y＝3.设外接圆圆心为M(0，t)，则M(0,3)，r＝|MB|＝1＋32＝10，∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.]命题点3与圆有关的最值问题03与圆有关的三种最值求法(1)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；(2)圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；(3)圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[高考题型全通关]1．已知P，Q分别为直线3x＋4y＋7＝0和曲线x2＋y2－2x＝0上的动点，则|PQ|的最小值为()A．3B．2C．1D．25C[x2＋y2－2x＝0，整理得(x－1)2＋y2＝1，即曲线是圆心(1,0)、半径为1的圆，所以圆心(1,0)到直线的距离d＝|3＋7|32＋42＝2，所以|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即d－r＝1，故选C．]2．已知点A为曲线y＝x＋4x(x0)上的动点，B为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则AB的最小值是()A．3B．4C．32D．42A[作出对勾函数y＝x＋4x(x＞0)的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A(2,4)，圆心坐标C(2,0)，半径R＝1，则由图象知当A，B，C三点共线时，|AB|最小，此时最小值为4－1＝3，即|AB|的最小值是3，故选A．]3．在平面直角坐标系xOy中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋y2＝16B．(x＋2)2＋y2＝20C．(x＋2)2＋y2＝25D．(x＋2)2＋y2＝36C[将直线(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0变形为(3x－2y)m＋(x＋y－5)＝0.由3x－2y＝0，x＋y－5＝0，得x＝2，y＝3.即直线恒过定点M(2,3)．设圆心为P，即P(－2,0)，由题意可知，当圆的半径r＝|MP|时，圆的面积最大，此时|MP|2＝r2＝25.即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25.]4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．52－4[两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.]5．(2020·宜昌调研)已知两点A－1，0，B1，0以及圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r0)，若圆C上存在点P，满足AP→·PB→＝0，则r的取值范围是________．[4,6][∵AP→·PB→＝0，∴点P在以A(－1,0)，B(1,0)两点为直径的圆上，该圆方程为：x2＋y2＝1，又点P在圆C上，∴两圆有公共点，两圆的圆心距d＝32＋42＝5，∴|r－1|≤5≤r＋1，解得：4≤r≤6.]6．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．3[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×12|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－r2＝4－1＝3.]命题点4抛物线04解决抛物线问题的两个关键点(1)利用抛物线的定义解题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离．(2)用活焦点弦：已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：①|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；②x1x2＝p24；y1y2＝－p2.③1|FA|＋1|FB|＝2p.④以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．12345678910[高考题型全通关]1．(2020·贵阳一模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，则C的焦点