模糊集合的表示方法

模糊数学主讲教师：张博侃第一章模糊集合的基本概念第一章模糊集合的基本概念一、模糊集合论的起源§1预备知识第一章模糊集合的基本概念现实世界中遇到的对象分多是这种模糊的、不确定性的类型，模糊集合正反映了这类“亦此亦彼”的模糊性.模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法.第一章模糊集合的基本概念二、诞生时间、标志L.A.Zadeh1965InformationandControlFuzzySets第一章模糊集合的基本概念为了与模糊集合相区别，将我们所熟悉的普通的集合称之为普通集合、经典集合、分明集合.思考：如何将集合的定义，由普通集合推广到模糊集合.第一章模糊集合的基本概念,XAX，设论域为普通集合.,,,其一二者必居其一，且仅居要么要么对AxAxXx元素对集合的属于程度最小是零，此时隶属度为0.元素对集合的属于程度最大是百分之百，此时隶属度为1.第一章模糊集合的基本概念普通集合,,0,,1)(),(},1,0{:AxAxxxxXAAA其中.的特征函数为称AA}.1)({xXxAA可以确定一个集合由AA可以确定一个映射由集合第一章模糊集合的基本概念§3模糊子集定义及运算.)(,,),(],1,0[:~~~~~~~~的隶属度对称为的隶属函数模糊集称为的一个模糊子集确定了则称给出映射定义AxxAAXxxXAAAAA一、模糊子集的概念).(,XFX记作集合称为模糊幂集合的全体模糊子集组成的第一章模糊集合的基本概念15050,5501500,0)(12~xxxxo以人的年龄作为论域X,模糊集表示“年老”,表示“年轻”，不妨设X=[0,150].Zadeh给出它们的隶属函数分别如下：~O~Y例1Old\young第一章模糊集合的基本概念old15050,5501500,0)(12~xxxxo)(~xo501O第一章模糊集合的基本概念young25,5251250,1)(12~xxxxY)(~xY251O第一章模糊集合的基本概念1.Zadeh记法2.序对表示法3.向量表示法二、模糊集合的表示方法第一章模糊集合的基本概念三、模糊子集之间的关系与运算).()(,),(~~~~~~~~xxXxBABAXFB,ABA当且仅当对任意的）（包含于称设定义.~~~~~~ABBABA且相等与).()(,~~xxXxBA对任意的第一章模糊集合的基本概念如下定义运算设定义cABABAXFB,A~~~~~~~,,),()(1)()()()}(),(min{)()()()}(),(max{)(~~~~~~~~~~~~~~xxxxxxxxxxxxAABABABABABABAc.,~~~~~~~~的补集（余集）称为的并集、交集，与分别称为cAABABABA第一章模糊集合的基本概念记X上的模糊子集的全体为,称为X的模糊幂集.)(XF)(XF四、模糊集合与普通集合之间的关系.~~~表示都用符号看作同一，与其隶属函数将模糊集AAA]}.1,0[:|{)(~~XAAXF.)(),(~~~~的隶属度对为的一个模糊集，为称若AxxAXAXFA第一章模糊集合的基本概念]}.1,0[:|{)(~~XAAXF，，恒有若对任意的}10{)(,),(~~xAXxXFA记子集）的一个普通子集（经典是则.~XA}1,0{:|)(XAAXP.表示都用符号与其特征函数将普通子集AAAAxAxxA,0,1)()(XF第一章模糊集合的基本概念五、模糊集合间的运算规律模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质.1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律.,~~~~~~AAAAAA.;~~~~~~~~ABBAABBA).()(),()(~~~~~~~~~~~~CBACBACBACBA.)(,)(~~~~~~~~AABAAABA第一章模糊集合的基本概念5）分配律)()()()()()(~~~~~~~~~~~~~~CBCACBACBCACBA6)零-壹律;;,,~~~~~~AXAXXAAAA~~)(AAcc7)复原律ccccccBABABABA~~~~~~~~)()(8)对偶律第一章模糊集合的基本概念).(~~XFAATttTtt，显然.,),(~为指标集设定义TTtXFAt规定对任意,Xx..)()()()()()(~~~~~~~~~~infsup的交集为称的并集为称TttTttTttTtttTttTtTtttTttTtTttAAAAxAxAxAxAxAxA第一章模糊集合的基本概念注：模糊集的补运算不满足互补律，即XAAAAcc~~~~,不一定成立.第一章模糊集合的基本概念§4分解定理与表现定理一、截集与强截集1.定义记对设],1,0[),(~XFA})(,{)(~~xAXxxAA).(~或阈值称为置信水平截集，的为称AA})(,{)(~~xAXxxAA.)(~~强截集的为称AA第一章模糊集合的基本概念.,)(,,)(,~~~~AxAxxAAxAxxAXx不属于模糊集水平上，，即在则时；当属于模糊集水平上，即在则时当对第一章模糊集合的基本概念2.性质.强截集具有如下性质截集与模糊集的性质1则，设],1,0[),(~~XFBA,)(2,)(1~~~~BABABABA）（）（.)(4,)(3~~~~BABABABA）（）（第一章模糊集合的基本概念,2,11~1~1~1~niiniiniiniiAAAA）（）（.4,31~1~1~1~niiniiniiniiAAAA）（）（性质1'，则，设niXFBAii,,2,1),(~~第一章模糊集合的基本概念性质2则为指标集设,),(,~TtUFATtTttTttTttTttAAAA~~~~21）（）（TttTttTttTttAAAA~~~~43）（）（第一章模糊集合的基本概念性质3AA性质4则若,21121212321AAAAAA），（），（）（1122AAAA第一章模糊集合的基本概念则，记，设,,]1,0[tTttTttTtTtTtttAAAA）（）（4,3性质5TtTtttAAAA）（）（2,1第一章模糊集合的基本概念例1ccccAAAA)()(,)()(1~~1~~.7.05.0},,{~baAbaX设.)()(6.06.0~ccAA与求,3.05.0~baAc解6.0~)(cA6.0A而},{b}{)(6.0aAc性质6第一章模糊集合的基本概念10,AXA定义2，设)(~XFA性质7.,}1)(,{~~1AKerAxAXxxA记的核为称.,}0)(,{~~0ASuppAxAXxxA记的支集为称.~10的边界为称AAA当时,称为正规模糊集.}1)(,{~~xAXxxAKer~A第一章模糊集合的基本概念1O)(~xAA~AKer~ASupp第一章模糊集合的基本概念下面将要介绍的分解定理就是反映这一事实的.先来学习数积概念与性质.从前面介绍的性质可以看出当从1逐渐下降趋于0，而不达到0时，是从的核Ker逐渐扩展为的支集Supp.因此，我们可以将模糊集看作是其边界在Ker和Supp之间游移,即将模糊集看作是普通集合族的总体.A]}1,0[{A~A~A~A~A~A~A~A~A第一章模糊集合的基本概念1.数积的概念与性质其隶属函数为)())((~~xAxA),(],1,0[),(~~XFAXFA规定设二、分解定理定义.~~的数乘或数积与为称AA第一章模糊集合的基本概念)())((~~xAxA具有如下性质：的数积与~~AA.,],1,0[,1~2~12121AA则若设性质.,2~~~~BABA则若性质第一章模糊集合的基本概念定理1（分解定理I）]1,0[~)(AA证明],10[),(，XPAAxAxxA,0,1)(AxAxxAxA,0,)())(().(XFA则设),(~XFA2.分解定理第一章模糊集合的基本概念]1,0[~AA有对,Xx))(()()(]1,0[]1,0[xAxA)(,)(max]1),(()](,0[~~xAxAxAxA)0(),1(max1)()(0~~xAxA}0),(max{~xA)(~xA第一章模糊集合的基本概念)(]1,0[~AA则设),(~XFA定理2（分解定理II）))(()()(]1,0[]1,0[xAxA))(()),((max]1),([))(,0[~~xAxAxAxA)0(),1(max1)()(0~~xAxA}0),(max{~xA)(~xA有对证明,Xx第一章模糊集合的基本概念若设),(~XFA]1,0[~)()1(HA定理3（分解定理III）)()(]1,0[:HXΡH则，有，使得对,)(]10[AHA);()()2(1221HH.1,)(,0,)()3(HAHA第一章模糊集合的基本概念.)()}({}{,}{]1,0[]1,0[]1,0[~，还可以介于它们之间或者不一定是来确定，即更一般的集合族来确定，而且还可以由）（或者强截集族由截集族不仅可以糊集上述分解定理说明，模AAHHAAA第一章模糊集合的基本概念三、表现定理令满足若H定义1)()(1221HH则称H为X上的集合套.X上的全体集合套记作U(X).)()(]1,0[:HXPH第一章模糊集合的基本概念],1,0[),(~XFA设})(,{)(1xAXxxAH})(,{)(2xAXxxAH1221AA.21上的集合套都是与则XHH1221AA)()(1221HH)()(1121HH)()(1222HH例1第一章模糊集合的基本概念，，，满足，：]10[)()(]10[33AHAXPH).()(132321HH，则若.3上的集合套也是所以XH由分解定理III，可知第一章模糊集合的基本概念定义2在U(X)中定义并、交、补运算如下cccHHH))1(())((: