梁的剪力和弯矩

1(Internalforcesinbeams)一、内力计算(Calculatinginternalforce)[例]已知F，a，l.求距A端x处截面上内力.解:求支座反力§4-2梁的剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)BAalFABFFRBFRAyFRAx,,(),RRR0000xAxAByAyFFFaMFlFlaFFl2(Internalforcesinbeams)2求内力——截面法弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩(Bendingmoment)M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MFRAyFRBABFmmxFSFRAyCFFRBFSCM(),yAyFlaFFFlSR02.剪力(Shearforce)FS构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,CAyMMFxR03(Internalforcesinbeams)3dxmmFSFS+1.剪力符号(Signconventionforshearforce)使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定(Signconventionforinternalforce)使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmFS-4(Internalforcesinbeams)当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；2.弯矩符号(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM当dx微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.mm（受压）-5(Internalforcesinbeams)解：（1）求梁的支反力FRA和FRB例题2图示梁的计算简图.已知F1、F2,且F2F1,尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩.0AMBdEDAabclCFF1F2FRBFRA021RbFaFlFB0BM0)()(21RblFalFlFAlblFalFFA)()(21RlbFaFFB21R6(Internalforcesinbeams)记E截面处的剪力为FSE和弯矩ME，且假设FSE和弯矩ME的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME00SREAyFF,FEERA=0,M-Fc=0M解得AEFFRScFMAER7(Internalforcesinbeams)取右段为研究对象AEcFSEFRAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MEFRB0yF021RSFFFFBE0ME0)()()(21RMcbFcaFclFEB解得++cFMAERAEFFRS8(Internalforcesinbeams)计算F横截面处的剪力FSF和弯矩MF.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB,,SRR0000yFBFFBFFFMMFd解得：-+BFFFRSdFMBFR9(Internalforcesinbeams)左侧梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力三、计算规律(Simplemethodforcalculatingshear-forceandbending-moment)1.剪力(Shearforce)niiFF左（右）1S10(Internalforcesinbeams)不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.2.弯矩(Bendingmoment)左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩mkkiniiMaFM左（右）左（右）1111(Internalforcesinbeams)例题3轴的计例算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.F2=FACDBbacF1=FFRAFRB解：（1）求支座反力kN60RRFFFBA12(Internalforcesinbeams)（2）计算C横截面上的剪力FSC和弯矩MC看左侧F2=FACDBbacF1=FFRAFRBkN601SFFCmkN061.bFMC（3）计算D横截面上的剪力FSD和弯矩MD看左侧060601RSFFFADmkN8.13)(1RFacFacFMAD13(Internalforcesinbeams)解:例题4求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的内力（3）求2-2截面的内力kN4RSS1ACFFF左mkN41R1ACFMM左kN4)4(RS2SBCFFF右mkN651)4()152(R2..FMMBC右B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB14(Internalforcesinbeams)§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程(Shear-force&bending-momentequations)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.弯矩方程(Bending-momentequation)15(Internalforcesinbeams)弯矩图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentdiagrams)剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS图的坐标系OM图的坐标系xOM(x)16(Internalforcesinbeams)例题5如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解:列出梁的剪力方程和弯矩方程)0()()0()(SlxFxxMlxFxF0SFA左FFA右SFSxFxM17(Internalforcesinbeams)例题6图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）求支反力2RRqlFFBAlqABx（2）列剪力方程和弯矩方程.)0(222)()0(2)(2RRSlxqxqlxxqxxFxMlxqxqlqxFxFAAFRAFRB18(Internalforcesinbeams)剪力图为一倾斜直线绘出剪力图)0(2)(SlxqxqlxFx=0处，x=l处,2SqlF2SqlF+ql/2ql/2lqABFRAFRB19(Internalforcesinbeams)弯矩图为一条二次抛物线)0(222)(2RlxqxqlxxqxxFxMAlqFRAABxFRB00Mx，0,Mlx令()d0d2Mxqlqxx得驻点2lx弯矩的极值822maxqlMMlx绘出弯矩图+82qll/220(Internalforcesinbeams)由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+82qll/282maxqlM2maxSqlF21(Internalforcesinbeams)解:（1）求梁的支反力例题7图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabFRAFRBlFbFARlFaFBR因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端.22(Internalforcesinbeams)将坐标原点取在梁的左端AC段CB段xxlFABCabFRAFRB)2()0()()1()0()(SaxxlFbxMaxlFbxF)4()()()()()3()()()(SlxaxllFaaxFxlFbxMlxalFalblFFlFbxF23(Internalforcesinbeams)由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线.)1()0()(SaxlFbxF)3()()(SlxalFaxFxxlFABCabFRAFRB+lFblFa)4()()()(lxaxllFaxM)2()0()(axxlFbxM+lFba由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.24(Internalforcesinbeams)在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.xxlFABCabFRAFRB+lFbalFblFa+25(Internalforcesinbeams)解：求梁的支反力例题8图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.RAMFlRBMFl将坐标原点取在梁的左端.因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程()()()S01MFxxlllABCabFRAFRBM由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线.+Ml剪力图26(Internalforcesinbeams)AC段CB段AC段和BC段的弯矩方程不同xxlABCabFRAFRBM()MMxxl)0(ax()()MMMxxMlxll)(lxaAC,CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.x=a,CMaMl左x=0,0MAC段CB段x=a,CMbMl右x=l,M=0+MalMbl弯矩图27(Internalforcesinbeams)梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.lABCabFRAFRBM+/Ml+MalMbl剪力图弯矩图28(Internalforcesinbeams)2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图.1.取梁的左端点为坐标原点,x轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩图向上为正.5.梁上的Fsmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发生在全梁或各梁段的边界截面,或FS=0的截面处.小结3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.29(Internalforcesinbeams)例题9一简支梁受移动荷载F的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载F的位置.ABFlx解:先设F在距左支座A为x的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.荷载在任意位置时，支反力为lxlFFA)(RlFxFBR当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为xlxlFxFMAC)(R令0ddxMC0)2(xllF2lx30(Internalforcesinbeams)此