Matlab在时间序列ARMA分析中的应用

1/74报告人：金浩MATLAB在时间序列分析中的应用2/74时间序列时间序列的特点及其建立时间序列分析的概念、特征和作用时间序列分解时间序列分析的相关特征量时间序列分析方法一、时间序列及其分析概述3/741.1时间序列自然界以及社会生活的各种事物都在运动、变化和发展着，将它们按时间顺序记录下来，就可以得到各种各样的时间序列。对时间序列进行分析研究，可以揭示事物运动、变化和发展的内在规律，对于人们正确认识事物并由此做出科学的决策具有重要的现实意义。1.1.1时间序列定义定义1：时间序列就是一组统计数据，依其发生时间的先后顺序排成的序列。定义2：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间序列。定义3：对某一个或一组变量)(tx进行观察测量，将在一系列时刻ntt1所得到的离散数据组成的序列集合)}(,),({1ntxtx，称为时间序列，记为)}(,),({1ntxtxX。这种有时间意义的序列也称为动态数据4/741.1时间序列时间序列取值一般有两种方式：(1)X取值观测时间点处的瞬间值(2)X取值观测时间点期间的累计值有些数据虽然不是时间序列，数据与时间无直接关系，但可以近似看做时间序列。因此，时间序列的广义定义为：有先后顺序的数据通称为时间序列。5/741.1时间序列1.1.2时间序列组成成分一般认为时间序列由四个成分构成，即长期趋势或趋势变化、季节变动或季节性变化、循环变动或循环变化、不规则变动或随机变化：(1)长期趋势就是时间序列依时间变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋势（T）。(2)季节变动是指一年或固定一段时间内，呈现固定的规则变化。它反映的是每年或固定时间段内重复出现的规律（S）。(3)循环变动主要指趋势曲线在长期时间内呈现摆动的现象（C）。(4)不规则变动（不规则因子）所关心的是变量变动的不可预测性。它反映的是由于随机或偶然事件引起的间断处的变化，入国家经济政策的改革、劳工纠纷、自然灾害或企业内部的人事变动等。在数据拟合时，应先剔除不规则变动，然后再进行拟合（R）。6/741.1时间序列1.1.3时间序列模型时间序列模型就是利用时间序列中的相关信息建立起来的，因而它是序列动态性和发展变化的规律的描述，我们可以建立时间序列模型来对时间序列的未来取值进行预测：(1)确定型时间序列模型1）加法模型tttttRCSTy2）乘法模型tttttRCSTy3）混合模型tttttRCTSy其中，ty是观测目标的观测记录，且0)(tRE，22)(tRE。7/741.1时间序列(2)线性时间序列模型1）自回归滑动平均（ARMA）模型2）自回归综合滑动平均（ARIMA）模型3）季节性（SEASON）模型(3)非线性时间序列模型1）自激励门限自回归（SETAR）模型2）双线性（BL）模型3）指数自回归（EAR）模型8/741.1时间序列1.1.4时间序列建模基本(1)用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据；(2)根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数；(3)辨别合适的随机模型，进行曲线拟合，即使用通用随机模型拟合时间序列的观测数据。9/741.1时间序列1.1.5时间序列分类1．按时间函数的确定性划分(1)确定性序列；(2)随机序列随机序列又可以分为平稳随机序列、非平稳随机序列、方差平稳序列、弱依赖时间序列和具有趋势的时间序列2．平稳性定义定义1：如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。10/741.1时间序列定义2：如果序列的一阶、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：(1)均值为常数；(2)协方差为时间间隔的函数。则该序列称为宽平稳时间序列。（宽）平稳时间序列是指均值、方差和自回归函数不随时间变化的时间序列。当时间序列}{tx为平稳随机过程时，对于任意的一个时段mttt21和1h，),,,(21mtttxxx的联合分布等同于),,,(21hththtmxxx的联合分布。11/741.1时间序列由定义知，平稳性意味着：所有的tx都具有相同的分布；在整个时期内，任何两个相邻项的相关程度都相同。用数学表达式表示为：(1)对任意t，均值恒为常数：tEx；(2)方差2)(txVar；(3)对任意整数t和k，自相关函数kttr,只与k有关，kkttrr,。12/741.2时间序列的特点1.2.1时间序列的特点1．时间序列的特点：(1)序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于时间的变化。(2)每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完全准确地用历史值预测。(3)前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。(4)从整体上看，时间序列往往呈现趋势性或出现周期性变化的想象13/741.2时间序列的特点2．时间序列变动特点：(1)趋势性。(2)周期性。(3)随机性。随机性时间序列一般是局部为随机变动，而整体呈统计规律。(4)平稳性。14/741.2时间序列的特点1.2.2随机变量x与随机序列},,,{21nxxx的主要区别：(1)随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数；随机序列则是一族时间t的函数。(2)对应于一定随机试验样本空间的随机变量与时间t无关；而随机序列则与时间密切相关。(3)随机变量描述事物在某一特定时点上的静态；随机序列描述事物发展变化的动态。15/741.2时间序列的特点1.2.3随机序列的现实：对于一个随机序列}{tx，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本},,,{21nxxx，称它为随机序列}{tx的一个现实。随机序列的现实是一族非随机的普通数列。16/741.2时间序列分析的概率和特征1.2.3随机序列的现实：对于一个随机序列}{tx，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本},,,{21nxxx，称它为随机序列}{tx的一个现实。随机序列的现实是一族非随机的普通数列。17/741.3时间序列分析的概念和特征1.3.1时间序列分析的概念定义1：时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学建模的理论和方法。定义2：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构规律的统计方法，是统计学科的一个分支，是用随机过程理论和数理统计学的方法，研究随机数据序列所服从的统计规律，用于解决实际问题。其基本思想是根据系统的有限长度的运行记录（观察到的历史数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，来评价事物的现状和估计事物的未来变化，并以此对系统的未来行为进行预报。18/741.3时间序列分析的概念和特征1.3.2时间序列分析的特征1、事物发展具有持续性由于时间序列分析法是根据序列过去的变化趋势预测未来发展变化的，因此其前提是假定事物发展具有持续性。2、时间序列数据存在着趋势(1)水平变动趋势(2)长期变动趋势(3)季节变动趋势(4)不规则变动趋势19/741.4时间序列分解1.4.1趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的分离1、趋势分量（T）趋势分量求法：先求出移动平均序列，记为TC，再确定趋势分量T。在求趋势分量T之前，首先要观察其趋势特征。可以通过对原时间序列Y或移动平均序列TC的观察，而获得初步信息。趋势可分为线性和非线性两种。20/741.4时间序列分解(1)以线性趋势求趋势分量T。用移动平均TC对时间t进行回归，回归模型是utTC10则TC的线性拟合值CTˆ就是趋势分量T。上式中，0和1为回归系数，u为误差uCTutTCˆˆˆˆˆ10式子，0ˆ和1ˆ为线性拟合系数，uˆ为误差估计。则tCTT10ˆˆˆ21/741.4时间序列分解2、循环分量（C）用移动平均平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC。用回归方法求出趋势分量T。用T除TC得循环分量C：TTCC3、季节分量（S）在时间序列中季节分量是很常见的，如四季气候变化引起人们日常生活的一定变动；风俗习惯也呈现季节性变动（如圣诞节、春节期间内某些商品销量大增）。季节分量常用季节性指数表示。22/741.4时间序列分解例如，05.1S表示季节性因素影响，时间序列值Y约高出平均值%5；94.0S，序列值约低于平均值%6。求季节性指数可分三步骤进行：(1)用移动平均法平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC(2)用趋势循环分量TC除序列值Y，得季节不规则分量，SITCY/(3)用相同期的SI分量全部值的平均数，有时也可以用这些全部值的中位数作为季节因子S的初步值。23/741.4时间序列分解4、不规则分量（I）不规则分量求法：用S除SI，可求出I：ISII用T与S相结合的方法对时间序列Y进行预测：用回归函数预测T，再与S相乘，即可用来预测Y。例如预测1t期Y的值，11ˆttSTY24/741.4时间序列分解时间序列分解步骤可归纳如下：(1)通过数据平滑（如k期移动平均）把原序列Y分离为TC和TCYSI/（数据减少1k）：kyyyTCkttt11，1,,2,1kTt(2)通过利用趋势循环分量（TC）对时间t拟合，求出长期趋势T：tCTT10ˆˆˆ，用T除TC，求出循环分量C（TTCC/），从而把TC分离为T和C25/741.4时间序列分解(3)用季节不规则分量SI各周期中相同期的值的平均数并进行调整之后作为S分量值。(4)用S除季节不规则分量SI，求出不规则分量I，把SI分离为S何ISSII(5)用T和S两个分量对tY进行预测。26/741.5时间序列分析的相关特征量在时间序列中，常常需要计算时间序列的一些特征量，例如统计学中常用的最大值、最小值、平均值等。下面介绍常用的一些特征量。1.5.1时间序列的平均数及其计算方法若观察的时间范围为nttt,,,21，相应的观察值表示为nYYY,,,21，其中1Y称为最初发展水平，nY称为最末发展水平；若对两个观察值进行比较，则把现在的这个时期称为报告期，用于比较的过去那个时期称为基期。27/741.5时间序列分析的相关特征量1.5.1绝对数时间序列的平均数由于绝对数时间序列由时期序列和时点序列之分，时间序列平均数的计算方法也有所区别。对于时期序列，时间序列平均数计算公式为niinYnnYYYY1211对于序列中的各个观察值是在某个瞬间时点上取得的，由于各观测点的时间间隔长度有所不同，时间序列平均数通常采用不同的计算方法。(1)对于以“天”为统计间隔的时点序列，时间序列平均数可按上述公式计算。28/741.5时间序列分析的相关特征量(2)对于统计时点间隔在一天以上的时点序列，计算时间序列平均数时，应先求出两个相邻观察值的平均值，然后由此求出整个观察期间的观察值总量，最后在根据这一总量求出平均数，即111232121222niinnnTTYYTYYTYYY其中iT为观察值iY与1iY之间的日期间隔长度。当nTTT21，则12/2/121nYYYYYnn29/741.5时间序列分析的相关特征量2.相对数或平均数时间序列的时间序列平均数相对数和平均数通常是由两个绝对数之比形成的，即观察值iiibaY/。计算时间序列平均数时，应先分别求出构成相对数或平均数的分子ia和分母ib的平均数，然后再进行对比，即得相对数或平均数序列的时间序列平均数，其基本公式为baY其中，niiana11，niibnb11。30/741.5时间序列分析的相关特征量1.5.2时间序列的增长量与平均量由于采用的基期不同，增长量有逐期增长量和累计增长量之分。逐期增长量是报告期水平与前一时期水平之差，表示本期比前一时期增长的绝对数量；累积增长量是报告期水平与某一固定时期水平之差，说明报告期与某一固定时期相比增长的绝对数量。逐期增长量：1iiiY