固体物理复习总结

第一章晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij由倒格子基矢的定义：1232()baa31230,,22(),0,224,,022aaaaaaaaaa，223,,,0,()224,,022ijkaaaaaijkaa213422()()4abijkijkaa同理可得：232()2()bijkabijka即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk由倒格子基矢的定义：1232()baa3123,,222(),,2222,,222aaaaaaaaaaaaa，223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaa213222()()2abjkjkaa同理可得：232()2()bikabija即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为求其倒格基矢。解：晶胞体积为其倒格矢为4、一晶体原胞基矢大小ma10104，mb10106，mc10108，基矢间夹角90，90，120。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai1a)2321(2jiabkac3由此可知：][2321321aaaaab=abcbc23)2123(2ji=)31(2jia][2321132aaaaab=abcac232j=j322b][2321213aaaaab=abcab23232k=kc2所以1b＝22)31(12a＝110108138.134ma2b＝2)32(2b＝110102092.134mb3b＝212c＝110107854.02mc(2)正格子原胞的体积为：][321aaa＝)]()2321([)(kjiicba＝328106628.123mabc倒格子原胞的体积为：][321bbb＝)](2)32(2[)31(2kjjicba＝3303104918.1316mabc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：hhdK2=3210122bbb=ji)3434(42baa=mbaa1022104412.1)3131()1(1425、已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝×10-10m。试求：(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：ad43故mda101045.23434=m101059.5(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：)(10795.2)(2)(10795.2)(2)(10795.2)(2103102101jijiaikikakjkjaaaa其倒格子基矢为：)(10124.1)(2)(10124.1)(2)(10124.1)(2103102101kjikjibkjikjibkjikjibaaa(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：mad1032111011010795.2201122bbbK(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢110K和111K之间的夹角，设为，则有：321321321321111110111110111011)111()011(arccosbbbbbbbbbbbbKKKK＝55.107)3015.0arccos(6、Si具有金刚石结构，其原子间距为，原子量为28，计算的Si密度。解：Si为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长度为L=×4=；金刚石结构的晶胞边长为2/30.5427alnm—Ga原子—As原子晶胞的体积为330.159846vanm每个晶胞包含8个原子则1摩尔（28克）包含的晶胞数目为N=×1023，对应体积为V=Nv=，密度为m=28/V=克/cm3第二章晶格动力学1、什么是简谐近似为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气体解：1当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。2简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休．考虑到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞．这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻．2、什么是晶格振动的光学支和声学支长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别答：1离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。2长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数.任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3、周期性边界条件的物理含义是什么引入这个条件后导致什么结果如果晶体是无限大，q的取值将会怎样解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3„。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。4、一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM。相邻原子间距均为a，恢复力系数为β，晶格常量为2a。试证明格波的色散关系：解：5、在一维双原子链中，如1/mM，（1）求证：qaMsin21；2122)cos1(2qaMmm。（2）画出与q的关系图（设10/mM）。解：（1）在一维双原子链中，其第n2个原子与第12n个原子的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm………………（1）为解方程组（1）可令])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）当（4）式中取“－”号时，有212221)sin)(41(1)(qamMMmmMmM……………（5）∵1/mM，∴（5）式中有mMmMMmmM)(，1sin4sin4sin)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（5）式可简化为qaMqaMmmqaMmm2221221sin2)sin4211(1)sin41(1∴qaMsin21当（4）式中取“＋”号时，有212222cos)(41)()(qamMMmMmmMMmmM……………（6）∵1/mM，∴（6）式中有mMmMMmmM)(，mMmMMmmM)(1cos4cos4cos)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（6）式可简化为)cos1(2)cos4211()cos41(2221222qaMmmqaMmmmqaMmmm∴2122)cos1(2qaMmm（2）当10/mM时，则（4）式可化为qammm222222sin521001211011此时，与q的关系图，即色散关系图如下图所示：图一维双原子链振动的色散关系曲线6、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。2)q→0,声学支和光学支格波分别有什么特点解：设第n2个原子为轻原子，其质量为m，第12n个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm…………………（1）为解方程组（1）可令qωOa2aa2am5/m5/m/2m5/11])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）令aq2，则可求得声学支格波频率为M2，光学支格波频率为m2由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m