03-正规子群与商群

2020/11/121近世代数及其应用罗守山教授博士生导师北京邮电大学计算机学院2020/11/122第3章正规子群与商群本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。2020/11/123第1节陪集拉格朗日（Lagrange）定理先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群的阶都是有限母群阶的因子。2020/11/124集合的积GBA,},|{BbAaabAB}{gB}|{AaagABAg}|{AagaBAgA设为群,是群子集,定义若，则G的两个非空2020/11/125陪集的引入(,)z40,1,2,3Z引例对于整数加群，模4的剩余类：构成的一个分类：现利用群的观点，分析此分类的特点：[0],[1],[2],[3](,)z①分类中存在一个特殊的类[0]是子群,而其余的类都不是子群.②每个类正好是这个子群“乘”上这个类中任取定的一个元素.[i]=i+[0].2020/11/1262020/11/1272020/11/1282020/11/129陪集陪集思想：利用子群的一种等价关系,对群进行分类。1{}),G,G,)ababnabababababZZ,+ZZZZ,+Z,+ZZ例：整数集，（）是群，记nnr|r，（n）是（）的子群又，，(mod整数上模n剩余关系n|n推广：规定关系：设H是（)的子群,，(modHH.2020/11/12102020/11/12112020/11/1212陪集111G,)G{G,)}{G,}{G,}{|.GG.Gabaxxxaxxxaxxxahhahaaaaaa定理：设H是（)的子群,则关系(modH是上的等价关系。满足反身性，对称性，传递性。包含的等价类可表示为(modHHHH}=H说明，群用子群H分类：，包含的等价类是H称H为关于H的一个右陪集，称为这个右陪集的代表。2020/11/12132020/11/12142020/11/1215陪集例333333333123123123123123123}123312231132213321{1121323123132}1123132112313212,3元对称群如：={，，，，，（），（），（），（），（），（）（），（），（）（）=（S关于交错群A的所有右陪集？S交错群A={}。）=（）（A=AAAA）={（333333312132313231612AAS的全部个元素已经被A分为两个等价类，S=），（），（）}=（）=（）.（A）（A）.2020/11/12162020/11/12172020/11/12182020/11/12192020/11/12202020/11/1221例3GS{(1),(12)}HHGHG{(1),(12)}(13)H(23)H①②在中的全部不同的左陪集有:{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}(1)H{(13),(123)}{(23),(132)}(12)H(123)H(132)H2020/11/1222例3GS{(1),(12)}HHG{(1),(12)}(13)H(23)H③在中的全部不同的右陪集有:{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}(1)H{(13),(132)}{(23),(123)}(13)(13)HH④⑤(1)(13)(23)GHHH(1)(13)(23)HHH(12)H(132)H(123)H2020/11/1223陪集的性质及陪集分解aHaHaHaHbHaHaHbHba1bHaHbHaH左陪集的性质及左陪集分解2）3）4）1）GH群中每个元素属于且只属于一个左陪集，可以按照其子群的左陪集分类.的按照其子群的左陪集分类中除去外，再无子群因此群G群GH存在.H2020/11/1224定义,,,cHbHaHHGcHbHaHGGH},,,{cba设是子群在群中的所有不同的左陪集，称等式为群关于子群的左陪集分解，而称为群的一个左陪集代表系.GH关于子群2020/11/1225右陪集的性质及右陪集分解HaaHaHHaHbHaHabHba1HbHaHbHa1）2）3）4）2020/11/1226右陪集与左陪集的对应关系GHGGaH:ahahHaH:ahha|lSaHaG|rSHaaG1:aHHalSrS定理设，则群陪集含有相同个数的元素；且在中是到的一一映射;是,则是到映射.的任何两个G证明集的个数与右陪集的个数相同.左陪HHa到H的一一映射;,的一一2020/11/1227GaHbHcH{,,,}abcGH111{,,,}abc由上定理知，，即是群关于子群的一是群的一个右陪集代表系.111GHaHbHc个左陪集代表系，GH关于子群2020/11/12282020/11/12292020/11/12302020/11/1231陪集GGGGGGGGGG定义：群关于子群H的左（右）陪集个数，称为H在中的指数。记#（：H）#定理（Lagrange）：有限群的子群H把分为类，#H#即=#（：H）,#=#（：H）#H。#H2020/11/1232Lagrange定理证明HGH#(:)GHr12rGaHaHaHijaHaH||||ijaHaHH12||||||||||#(:)rGaHaHaHrHHGH证明因为,所以也是有限群，，且由前定理,且所以,HG在中左陪集的个数也有限.设从而2020/11/12332020/11/1234Lagrange定理推论,,GGGGaGG群元素个数=子群H元素个数关于H的左（右）陪集个数.推论1：#H|#子群元素个数是群元素个数的因数。推论2：群元素的阶|#群元素的阶是群的阶的因数。推论3：每个阶为素数p的群都是循环群。2020/11/1235333333331{1121323123132}61236121131231123132如：找=（），（），（），（），（），（）的阶必是#的因子为，，，的1阶的6阶的2阶必是循环群{（），（）}，{（），（）}，{（），（）}3元对称群S的所有子群？S子群SS子群：{（）}S子群：SS子群：S子群：的3阶必是循环群{(1),（），（）}2020/11/12362020/11/12372020/11/12382020/11/1239乘积集的例#G（#H）（K)定理：设H、K是群的有限子群，则#（HK）=#(HK）333{112},{113}224,1如：在H=（），（）K=（），（）(#H)(#K）是，#3元对称（HK）=#（HK）H群S中，S的子群S的子群?K是不是。2020/11/1240第2节正规子群商群1G,)G{G|)}{G|}{|.abaxxaxxahahaaa回忆前定理：设H是（)的子群,则关系(modH是上的等价关系。包含的等价类可表示为(modHHH}＝H元素所在的右陪集=元素所在的左陪集？不一定。交换群可以。GGGGg定义：设H是群的子群,且，gH=Hg,称H是的正规子群（或不变子群）,记H，对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。2020/11/12412020/11/12422020/11/12432020/11/12442020/11/12452020/11/12462020/11/12472020/11/12482020/11/12492020/11/12502020/11/12512020/11/12522020/11/1253要判断一个子群是不是不变子群，一般来说，使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．2020/11/12542020/11/12552020/11/12562020/11/12572020/11/1258正规子群1212GGGGGG定理：设（，）与（，）是群（，）的正规子群,则（，）是群（，）的正规子群。12121GGGGGG思路：（）是群的子群。（2）是群的正规子群。2020/11/12592020/11/12602020/11/12612020/11/12622020/11/12632020/11/12642020/11/12652020/11/12662020/11/12672020/11/12682020/11/1269商群1212GGG|GGGG#HHHggHHgHgHggHHGHH定理：设是群（，）的正规子群,则关于的所有陪集的集＝{}对运算（）（）=（）是群。称（，）为关于的商群。#商群的阶#（）=2020/11/1270商群333333333333333{1121323123132}112313212121212121交错群A是3元对称群S的正规子群。A关于S的商群。SA={如：得=（），（），（），（），（），（）（），（），（）（）如（）（）=（）}，S={A，A}，运算AAAAA（=（）=A）2020/11/12712020/11/12722020/11/1273单群G{e}GG定义：设群除和本身外，没有其他正规子群,称是单群。2020/11/1274第3节群同态基本定理,{}HHfHabfabfafbHfKerf,Kerf=gfg定义：设是G映射，，G（）（）*（）,像为的单位元e的所有元素的集，称为映射的核，记的一个群同态为G|（）=e同态2020/11/1275定义GGGG若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；GGGG若存在群到群的同构映射，则称群与群同构.AAsA假定是集合到的一个满射，(){()|}ssaas，称为s在之下的象；sA，称1(){|(),}ssaaaas为s在之下的逆象.为2020/11/1276定理两个代数系统同态，GG与若G是群，则G也是群.证明：~GG，G是群，有结合律，则G也有结合律；()()()(),eaeaa是同态满射，有,,.()aGaGstaa()ee是G的左单位元；11()()()(),aaaaee1()a()aa是的左逆元G也是群.2020/11/1277例证明{0,1,2,3}G()mod4abab关于做成群.(,)GZ证明：取:mod4,()xxxZ是G到G的同态满射，~GGG而是群，因此G是群.2020/11/1278例G:是GG到的同态满射，~.GG{全体正负奇数}，{1,1}G代数运算均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1G是群，而G不是群.2020/11/12792020/11/12802020/11/12812020/11/12822020/11/12832020/11/12842020/11/12852020/11/12862020/11/12872020/11/1288定理（群同态基本定理）/.GKerG()()aKeraaaG：GG群与同态，是到满射，则GG的同态证明：取2020/11/1289说明：GG定理说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同构意义下是的一个商群.定理说明一个群则这个群G因此，在同构意义下，上述定理的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.2020/11/1290定理GG{}.Kere若是群到群的同态映射是单射，则证明：,()()()()()aGaeaeaee,()()nKernee而是单射,{}.neKere()()ab若，则11()()()abab