高考卷 04普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题奎屯王新敞新疆一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆.1．与直线042yx的平行的抛物线2xy的切线方程是（）A．032yxB．032yxC．012yxD．012yx2．复数ii31)31(2的值是（）A．－16B．16C．41D．i43413．已知)(,11)11(22xfxxxxf则的解析式可取为（）A．21xxB．212xxC．212xxD．21xx4．已知cba,,为非零的平面向量.甲：则乙,:,cbcaba（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011ba，则下列不等式①abba；②|;|||ba③ba；④2baab中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知椭圆191622yx的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．59B．3C．779D．497．函数]1,0[)1(log)(在xaxfax上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（）A．41B．21C．2D．48．已知数列{na}的前n项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11nnbaSnnn其中a、b是非零常数，则存在数列{nx}、{ny}使得（）A．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}为等比数列B．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等差数列C．}{,nnnnxyxa其中为等差数列，{ny}都为等比数列D．}{,nnnnxyxa其中和{ny}都为等比数列9．函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是（）A．0aB．0aC．0aD．0a10．设集合044|{},01|{2mxmxRmQmmP对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（）A．PQB．QPC．P=QD．PQ=11．已知平面与所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条12．设)(tfy是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．]24,0[,6sin312ttyB．]24,0[),6sin(312ttyC．]24,0[,12sin312ttyD．]24,0[),212sin(312tty二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设随机变量的概率分布为akaakPk则为常数,,2,1,,5)(.14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.（以数字作答）15．设A、B为两个集合，下列四个命题：①AB对任意BxAx有,②ABBA③ABAB④AB存在BxAx使得,其中真命题的序号是.（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos2cossinsin622求的值.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.ABCDA1B1C1D1EF19．（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值.aABC20．（本小题满分12分）直线12:1:22yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011naaaaaaannn满足数列（I）已知数列}{na极限存在且大于零，求nnaAlim（将A用a表示）；（II）设;)(:,,2,1,1AbAbbnAabnnnnn证明（III）若,2,121||nbnn对都成立，求a的取值范围.2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D2．A3．C4．B5．B6．D7．B8．C9．C10．A11．D12．A二、填空题13．414．24015．（4）16．－1.6三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分.解法一：由已知得：0)cossin2)(cos2sin3(0cossin20cos2sin3或由已知条件可知).,2(,2,0cos即所以.32tan,0tan于是3sin2cos3cos2sin)32sin(.tan1tan123tan1tansincossincos23sincoscossin)sin(cos23cossin22222222222代入上式得将32tan..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cosABCDA1B1C1D1EF..32tan.0tan),,2(.0)1tan2)(2tan3(.02tantan62下同解法一又即18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.∴D1E⊥AFDE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点.∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=41AC=42，∴tan∠C1HC=224211CHCC.∴∠C1HC=arctan22，从而∠AHC1=22arctan.故二面角C1—EF—A的大小为22arctan.解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E)0,21,1(，F（x，1，0）aABCQPFABEDCDFxxAFEDAFEDFABEDABEDABEDxAFABED111111111111,.210210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即（1）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF.连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.31898983||||cos).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111HCHAHCHAAHCHAHCHC.31arccos.31arccos)31arccos(11的大小为故二面角即AEFCAHC19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:ACAQABAPCQBPACAQCQABAPBPAQAPACABACAB解法一.cos2121)(222222aaBCPQaBCPQaACABAPaAPABACAPaACABAQABACAPAQAPaxyABCQP.0.,)(0,1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos.cos.cos.||||cos2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQaaCQBPabycxabycxBCPQBCPQ20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122yxCkxyl.022)2(22kxxk……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222kkkkkkkk的取值范围是解得（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则由①式得.22,22222221kxxkkxx……②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FA⊥FB得：.0)1)(1())((.0))((21212121kxkxcxcxyycxcx即整理得.01))(