搜索
1江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1．已知集合A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．若A∩B＝{4}，则实数a的值是．答案：9考点：集合交集运算解析：∵集合A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．A∩B＝{4}，∴a﹣5＝4，则a的值是9．2．若复数z满足2iiz=+，其中i是虚数单位，则z的模是．答案：5考点：复数解析：∵2iiz=+，∴22ii12iz=+=−+，则5z=．23．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是吨．答案：10考点：平均数解析：9.49.79.810.310.8105x++++==．4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是．答案：52考点：算法与流程图解析：第一次S＝15，k＝1；第二次S＝15，k＝2；第三次S＝152，k＝3；第四次S＝52＜3；所以输出的S的值是52．5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是．答案：23考点：随机事件的概率解析：甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为6293=．6．在△ABC中，已知B＝2A，AC＝3BC，则A的值是．答案：6π考点：正弦定理，二倍角的正弦公式解析：∵AC＝3BC，∴3ba=，即sinB＝3sinA，∵B＝2A，∴sin2A＝3sinA，则2sinAcosA＝3sinA，3∵sinA≠0，∴3cosA2=，A∈(0，π)，则A＝6π．7．在等差数列{}na(nN∗∈)中，若124aaa=+，83a=−，则20a的值是．答案：﹣15考点：等差数列的通项公式及性质解析：∵数列{}na是等差数列，∴1524aaaa+=+，又124aaa=+，∴50a=，∴8531853aad−−===−−，故2051515aad=+=−．8．如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则12VVV+的值是．答案：13考点：圆柱圆锥的体积解析：由12112121211113333OOOVVSOOSOOSOOV+=⋅+⋅=⋅=⊙⊙⊙，得1213VVV+=．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221xyab−=(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q．若△APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知，AF＝PF，即2baca+=，∴22caaca−+=，化简得：220ee−−=，又e＞1，∴e＝2．10．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是．答案：13考点：直线与圆解析：设P(p，2p)，则2222(4)45816PCpppp=−+=−+，42222588PTPCTCpp=−=−+，225POp=，∵PT＝PO，∴225885ppp−+=，解得p＝1，∴22581613PCpp=−+=，即PC的长是13．11．若x＞1，则91211xxx+++−的最小值是．答案：8考点：基本不等式解析：91912116281111xxxxxxx++=+++−+≥+=+−+−，当且仅当x＝2时取“＝”．12．在平面直角坐标系xOy中，曲线xye=在点P(0x，0xe)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(0x，0)，△PAB的面积为3，则0x的值是．答案：ln6考点：利用导数研究函数的切线解析：∵xye′=，∴0xke=，则切线方程为000()xxyeexx−=−，令y＝0，求得01Axx=−，∴01132xe×⋅=，解得0ln6x=．13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则6778AAAA⋅������������的值是．答案：427考点：平面向量数量积解析：sin∠A6A7O＝67AO6AO7=，∴6778642AAAA1177⋅=××=������������．14．设函数2log,04()(8),48xaxfxfxx⎧−≤⎪=⎨−⎪⎩，若存在实数m，使得关于x的方程()fxm=有54个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是．答案：(−∞，1)考点：函数与方程解析：当2a≥时，2log0xa−≤，此时22log,04()log(8),48axxfxaxx−≤⎧=⎨−−⎩，此时函数()fx在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程()fxm=最多2个不相等的实根，舍；当a＜2时，函数()fx图像如下所示：从左到右方程()fxm=4个不相等的实根，依次为1x，2x，3x，4x，即1x＜2x＜3x＜4x，由图可知2122loglogaxxa−=−，故124axx=，且328xx=−，418xx=−，从而222222123411211442()16()128aaxxxxxxxx+++=+−++，令114atxx=+，显然t＞4a，22222112342161284axxxxtt++++=−+−，要使该式在t＞4a时有最小值，则对称轴t＝4＞4a，解得a＜1．综上所述，实数a的取值范围是(−∞，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a�＝(cosα，sinα)，b�＝(cos(α＋4π)，sin(α＋64π))，其中0＜α＜2π．（1）求()baa−⋅���的值；（2）若c�＝(1，1)，且()bc+��∥a�，求α的值．解：（1）因为向量()cossinαα=，aaaa，()()()ππcossin44αα=++，bbbb，所以()2−⋅=⋅−baaababaaababaaababaaaba…2分()()()22ππcoscossinsincossin44αααααα=+++−+…4分()πcos14=−−212=−．……6分（2）因为()11=，cccc，所以+bcbcbcbc()()()ππcos1sin144αα=++++，．因为()+bcbcbcbc∥aaaa，所以()()()()ππcos1sinsin1cos044αααα++−++=．…9分于是()()ππsincossincoscossin44αααααα−=+−+，从而()ππ2sinsin44α−=，即()π1sin42α−=．………………12分因为π02α，所以πππ444α−−．于是ππ46α−=，即5π12α=．…14分16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．解：（1）取AB的中点D，连结PDCD，．7在△1ABB中，因为PD，分别为1ABAB，中点，所以1PDBB∥，且112PDBB=．直三棱柱ABC−A1B1C1中，11CCBB∥，11CCBB=．因为Q为棱1CC的中点，所以1CQBB∥，且112CQBB=．…3分于是PDCQ∥，PDCQ=．所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQCD∥．……5分又因为CDABC⊂平面，PQABC⊄平面，所以PQABC∥平面．…7分（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，1BBABC⊥平面．又CDABC⊂平面，所以1BBCD⊥．因为CACB=，D为AB中点，所以CDAB⊥．……10分由（1）知CDPQ∥，所以1BBPQ⊥，ABPQ⊥．……12分又因为1ABBBB=I，11ABABBA⊂平面，111BBABBA⊂平面，所以11PQABBA⊥平面．……14分17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：22221xyab+=(a＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当AN＝127AM时，求直线l的方程．解：（1）记椭圆E的焦距为2c（0c）．因为右顶点()0Aa，在圆C上，右准线2axc=与圆C：()2231xy−+=相切．所以()22230131aac⎧−+=⎪⎨−=⎪⎩，，解得21ac=⎧⎨=⎩，．8于是2223bac=−=，所以椭圆方程为：22143yx+=．……4分（2）法1：设()()NNMMNxyMxy，，，，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：()2ykx=−．由方程组()222143ykxyx=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得，()2222431616120kxkxk+−+−=．所以221612243Nkxk−⋅=+，解得228643Nkxk−=+．……6分由方程组()()22231ykxxy=−⎧⎪⎨−+=⎪⎩，，消去y得，()()2222146480kxkxk+−+++=，所以224+821Mkxk⋅=+，解得222+41Mkxk=+．……8分因为127ANAM=，所以()12227NMxx−=−．……10分即22121227431kk=⋅++，解得1k=±，……12分所以直线l的方程为20xy−−=或20xy+−=．……14分法2：设()()NNMMNxyMxy，，，，当直线l与x轴重合时，不符题意．设直线l的方程为：()20xtyt=+≠．由方程组222143xtyyx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得，()2234120txty++=，所以21234Ntyt−=+．……6分由方程组()22231xtyxy=+⎧⎪⎨−+=⎪⎩，消去x得，()22120txty+−=，所以221Mtyt=+．……8分因为127ANAM=，所以127NMyy=−．……10分即22121227341tttt−=−⋅++，解得1t=±，……12分所以直线l的方程为20xy−−=或20xy+−=．……14分18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）．设AD＝x，9DE＝1y，AM＝2y（单位：百米）．（1）分别求1y，2y关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．解：（1）因为23ADEABCSS=△△，△ABC是边长为3的等边三角形，又AD=x，所以()2121sin=3sin23323ADAEππ⋅⋅××，所以6AEx=．……2分由03603ADxAEx=⎧⎪⎨=⎪⎩≤，≤，得23x≤≤．……4分法1：在ADE△中，由余弦定理，得22222362cos63DEADAEADAExxπ=+−⋅⋅=+−．所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为[]21236623yxxx=+−∈，，．……6分在ADM△和AEM△中，由余弦定理，得2222cosADDMAMDMAMAMD=+−⋅⋅∠①()2222cosAEEMAMEMAMAMD=+−⋅⋅π−∠②…8分因为M为DE的中点，所以12DMEMDE==．由①+②，得22222221222ADAEDMEMAMDEAM+=++=+，所以()()222226136622xxAMxx+=+−+，所以2229342xAMx=++．所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为[]222932342xyxx=++∈，，．……